Неправильное сложение дробей

[Ktina]

Отличник Вася складывает обыкновенные дроби без ошибок, а Петя складывает дроби так: в числитель пишет сумму числителей, а в знаменатель – сумму знаменателей. Учительница предложила ребятам сложить три несократимые дроби. У Васи получился правильный ответ 1. Мог ли у Пети получиться ответ меньше $\dfrac{1}{10}$?
(Г. Мерзон, ТурЛом-2013)

Мне показалось, что такую задачу лучше решать именно через десятичные дроби, заменив их обыкновенными, а именно:

$$\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{100}+\dfrac{1}{100}=1$$

, а у Пети получится

$$\dfrac{9+9+1}{10+100+100}=\dfrac{19}{210}<\dfrac{1}{10}$$

В более общем случае:

$$\dfrac{10^k-1}{10^k}+\dfrac{10^k-1}{10^{2k}}+\dfrac{1}{10^{2k}}=1$$

, а у Пети получится

$$\dfrac{10^k-1+10^k-1+1}{10^k+10^{2k}+10^{2k}}=\dfrac{2\cdot 10^k-1}{2\cdot 10^{2k}+10^k}<\dfrac{1}{10^k}$$

, то есть, результат можно приблизить к нулю на любое наперёд заданное расстояние.
Официальное решение выглядит вот так, причём в замечании к нему указано, что "Чтобы результат Пети сильно отличался от правильного, нужно, чтобы у одной из дробей был большой (по сравнению с другими дробями) знаменатель и маленький числитель. ", но в моём решении этого не происходит. Почему?

[provincialka]

А по-моему, у вас примерно также. Одна сотая имеет маленький числитель и довольно большой знаменатель. А если уменьшить Петину сумму до $1/100$, как в решении, у вас тоже последняя дробь будет маленькой. Просто у вас две первые дроби сильнее различаются, чему в том решении.

[Ktina]

provincialka
Хотелось бы немного усложнить задачу, не поможете? Только так, чтобы красивое решение подразумевалось, а не сложный (но бестолковый) перебор.