интеграл Лебега индикаторной функции дискретного множества

[sasha_vertreter]

помогите понять, пожалуйста

говорится, возьмем на измеримом пространтсве $(\Omega, \mathbb A)$ индикатурную функцию для $A \subset \mathbb A$: $1_{A}= \left\{1 \text{ }\omega \in A , 0 \text{ } \omega \notin A\right\}$

тогда определяют $\mu(1_{A})=\mu(A)=\int \limits_{\Omega} 1_{A}\mu(d\omega)$

мой вопрос такой: если я возьму $\Omega=\left\{1,2,3\right\}$, $\mathbb A=\mathcal{P}(\Omega)$, $A=\left\{1,2\right\}$ и определю меру $\mu(A)=|A|$ количество элементов в $A$, то получается

$\mu(1_{A})=\mu(A)=\int \limits_{\Omega} 1_{A}\mu(d\omega)=2$

??

но скорее это все-таки не правильно...

[provincialka]

Почему неправильно? Что нарушено? Конечно, это "из пушки по воробьям", меру и интеграл Лебега определяют на сигма-алгебре
Но запрета на конечную алгебру нет.

[sasha_vertreter]

Просто я пока только начинаю учить теорию меры почему-то засомневался в том, что такая мера действительно лебегова. Спасибо!

[Oleg Zubelevich]

provincialka в сообщении #784720 писал(а):

Почему неправильно? Что нарушено? Конечно, это "из пушки по воробьям", меру и интеграл Лебега определяют на сигма-алгебре
Но запрета на конечную алгебру нет.

а чем алгебра подмножеств конечного множества не сигма?

[provincialka]

Oleg Zubelevich в сообщении #785082 писал(а):

а чем алгебра подмножеств конечного множества не сигма?

Сигма, конечно, сигма. Но ТС меня понял.