Существование двустороннего предела функции

[Otta]

ewert в сообщении #784555 писал(а):

Бесконечный предел функции -- понятие вполне стандартное.

Естественно. Как удобный подкласс пределов, про которые все же принято говорить, что они не существуют. Фундаментальности нет, и все, вопрос снимается. Но выделять принято, поскольку дают дополнительную информацию о поведении функции.
Но раз уж он (бесконечный предел) в обиход въелся, то да, про тот предел, который существует, лучше говорить, что существует и конечен.

provincialka в сообщении #784553 писал(а):

Как терминологически отделить случай бесконечного предела и отсутствия предела?

А если предел бесконечен - то так и сказать. (Помня при этом, что он все же не существует.)
А если третья ситуация - предел не существует, в том числе и бесконечный.

(Это я чуть ли не в точности мантры из классификации особых точек перепеваю из ТФКП. :) В реальности каждый раз никто эти мантры не поет, но несколько раз повторить, имхо, не мешает.)

[Limit79]

Otta в сообщении #784561 писал(а):

А если предел бесконечен - то так и сказать. (Помня при этом, что он все же не существует.)

А, понял, спасибо!

[ewert]

Otta в сообщении #784561 писал(а):

Фундаментальности нет, и все, вопрос снимается.

А при чём тут фундаментальность? Она связана не с существованием предела, а со сходимостью. Т.е. с существованием конечного предела.

[Otta]

ewert
В терминологических спорах не бывает победителей.
Я так полагаю, у нас с Вами разное определение предела. Потому что критерий Коши в привычном мне виде выглядит: "предел функции при базе существует если и только если она при этой базе фундаментальна".
Видимо, Вы говорите "существует и конечен".
Так какое же у Вас основное определение предела?

[ewert]

Otta в сообщении #784571 писал(а):

Так какое же у Вас основное определение предела?

Определение 1. Число $a$ называется пределом последовательности $\{a_n\}$, если для любого эпсилона и т.д. Если такое число существует, то последовательность называется сходящейся.

Определение 2. $\lim a_n=+\infty$, если и т.д.

При желании оба определения можно объединить в одно общетопологическое. А можно и не объединять. Для функций -- ровно так же, только для них не имеет смысла понятие сходимости. Зато имеет смысл понятие непрерывности, но для её определения нет, в свою очередь, никакой необходимости упоминать о конечности предела.

В любом варианте произносить слова "предел бесконечен, но его нет" -- совсем не комильфо.

[Otta]

ewert, я не сомневаюсь, что в рамках Вашей терминологии Вы сможете выстроить непротиворечивую теорию, результаты которой будут совпадать с результатами математического анализа. Но.

ТС обратился с конкретным вопросом. У него на повестке дня точки разрыва первого и второго рода, очевидно. А знаете, что в Зориче написано по этому поводу?

Определение 1. Точка $a$ называется точкой разрыва первого рода функции $f$, если пределы слева и справа существуют, но хотя бы один их них не совпадает со значением $f(a)$.

Определение 2. .... второго рода, если хотя бы один из них не существует.

Вам не нужны комментарии, мне кажется.

[provincialka]

Точно, я тоже подумала, что в определении разрыва второго рода не различаются не существующие и бесконечные пределы.

[ewert]

Otta в сообщении #784597 писал(а):

А знаете, что в Зориче написано по этому поводу?

Не знаю. А зачем читать именно Зорича?... Тем более что если у него Определение 1 буквально такое, то это никуда не годится. А вместо Определения 2 гораздо разумнее сказать: "Во всех остальных случаях..."

[Otta]

ewert в сообщении #784613 писал(а):

Тем более что если у него Определение 1 буквально такое, то это никуда не годится.

Исправила, спасибо.

ewert в сообщении #784613 писал(а):

А зачем читать именно Зорича?...

Вопрос стоит не так. Вопрос стоит о том, какой терминологии придерживаются разные авторы. И как это отражается на остальных определениях.
Например, прочитав, что точка будет точкой неустранимого разрыва первого рода, если пределы слева и справа существуют, но различны, недолго обозвать таковой $0$ для функции $1/x$. Если думать, что $+\infty$ и $-\infty$ разные значения соотв. существующих пределов. Если эту тему перечитать,то видно, сколько непоняток у автора было именно на этой почве.

[ewert]

Otta в сообщении #784633 писал(а):

Исправила, спасибо.

Всё равно скользко. Если раньше по рассеянности к числу разрывов первого рода относились точки непрерывности, то теперь как-то теряется случай, когда функция в этой точке просто не определена (слова "не совпадает со значением" подразумевают, что это значение существует). Разумный вариант формулировки: "Точка разрыва $a$ называется точкой разрыва первого рода, если односторонние пределы в этой точке существуют и конечны". Точка.

Otta в сообщении #784633 писал(а):

недолго обозвать таковой $0$ для функции $1/x$. Если думать, что $+\infty$ и $-\infty$ разные значения соотв. существующих пределов.

Так вот все непонятки и возникают ровно из-за того, что слова "и конечны" изгнаны из этого определения куда-то далеко, в глубь подсознания, в определение предела вообще. Будь они здесь -- никаких вопросов и не могло бы возникнуть. А всё из-за тщетной погони за кажущейся строгостью. В конце концов, тот же Зорич наверняка употребляет выражение $\lim=+\infty$. И что, он надеется, что читающий его не будет проговаривать такого рода выражения? Ну это наивно.

[arseniiv]

Нетрудно ввести сразу два понятия — «предел» и «конечный предел» (или «конечный/бесконечный предел» и «предел»), тогда всё коротко запишется. Вроде, я такое и слушал (в первом варианте), и даже где-то видел.

[Otta]

ewert в сообщении #784638 писал(а):

В конце концов, тот же Зорич наверняка употребляет выражение $\lim=+\infty$.

Крайне редко. Специально не перечитывала, встретила два раза за первый том.

ewert в сообщении #784638 писал(а):

Всё равно скользко. Если раньше по рассеянности к числу разрывов первого рода относились точки непрерывности, то теперь как-то теряется случай, когда функция в этой точке просто не определена (слова "не совпадает со значением" подразумевают, что это значение существует). Разумный вариант формулировки: "Точка разрыва $a$ называется точкой разрыва первого рода, если односторонние пределы в этой точке существуют и конечны". Точка.

Хы! А это уже другой спор - о том, что считать точкой разрыва. Вариантов два: это только точка области определения, не являющаяся точкой непрерывности (у Зорича именно так), или так, как пишете Вы (так, например, у Демидовича).

(Оффтоп)

Это смешно, конечно, но сколь помню свою кафедру, пока ей еще не было все равно, что она преподает, кому и как, столько копий было поломано именно об эти два простые места, в частности. Так что, ewert, ничего личного в моем споре нет, ему уже лет так... ну много.

[ewert]

arseniiv в сообщении #784642 писал(а):

Вроде, я такое и слушал (в первом варианте), и даже где-то видел.

Более традиционно (и более естественно) второе. Поскольку общей топологии ещё нет, разумнее сначала дать два разных определения, а потом уже их объединить.

[Otta]

arseniiv в сообщении #784642 писал(а):

Нетрудно ввести сразу два понятия — «предел» и «конечный предел» (или «конечный/бесконечный предел» и «предел»), тогда всё коротко запишется.

Не совсем поняла, что именно коротко запишется? Определение предела? Или?

[ewert]

Otta в сообщении #784647 писал(а):

Крайне редко.

Ну хочется человеку носить смирительную рубашку -- значит, хочется.

Otta в сообщении #784647 писал(а):

Вариантов два: это только точка области определения, не являющаяся точкой непрерывности (у Зорича именно так), или так, как пишете Вы (так, например, у Демидовича).

Нет, вариант только один -- "как у Демидовича". Иначе у функции $\frac{\sin x}x$ не оказывается ни одной точки разрыва. И тогда вообще непонятно, зачем вообще все эти разговоры про поведение в нуле.