Верхний и нижний пределы последовательности множеств

[Rashitovich]

Цитата:

Верхний предел последовательности множеств - множество, элементы которого принадлежат бесконечному числу множеств последовательности.

Нижний предел последовательности множеств - множество, элементы которого принадлежат всем множествам последовательности, за исключением конечного их числа (= начиная с некоторого).

Прошу вас помочь разобраться в определениях.

С нижним переделом вроде как понятно.
Верхний ... рассуждаю так: бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или "подпоследовательность" или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

Тогда я прихожу к определению нижнего предела. Это как? ....

P.S. исхожу из того, что минимально возможная мощность "бесконечного" множества счётно.

[Urnwestek]

Rashitovich в сообщении #784160 писал(а):

или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

То есть сама последовательность за вычетом конечного числа членов — не подпоследовательность? (:

Цитата:

Тогда я прихожу к определению нижнего предела. Это как? ....

Я тоже не понял, объясните как вы из этого

Цитата:

Бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или "подпоследовательность" или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

перешли к этому

Цитата:

Нижний предел последовательности множеств - множество, элементы которого принадлежат всем множествам последовательности, за исключением конечного их числа (= начиная с некоторого).

[--mS--]

Чисто на всякий случай:

$$ \limsup A_n = \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k, \quad \liminf A_n = \bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k. $$

[Rashitovich]

Если

Цитата:

Бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или

А "подпоследовательность" или
Б же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

не вызывает вопросов.

Но определение нижнего предела следующее: нижний предел - это Б

имеем:

верхний предел - это элементы из А или Б
нижний предел - это элементы Б

[Otta]

Пардон, каша какая-то.
Рассмотрите для начала $A_n=[0,1-1/n]$. Какие у нее верхний и нижний предел?

[--mS--]

Rashitovich в сообщении #784200 писал(а):

верхний предел - это элементы из А или Б
нижний предел - это элементы Б

Тоже пардон, хотелось бы понять, что за вопрос задаёт ТС. Разумеется, $\liminf A_n \subseteq \limsup A_n$. Вопрос-то в чём?

[Rashitovich]

1. Получается, определения $\liminf A_n$ и $\limsup A_n$ могут быть такими:
   • $\limsup A_n$ — множество, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности $A_n$; поэтому $\limsup A_n$ может быть несколько.
   • $\liminf A_n$ — множество, элементы которого принадлежат множествам из $A_n$ за исключением конечного их числа.
   Это так? При этом $\liminf A_n \subseteq \limsup A_n$ истинно.
2. $A_n=[0;1-1/n]$
   • $\liminf A_n=\limsup A_n=[0;1)$ ?
3. К сожалению,
   $$\limsup A_n = \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k, \quad \liminf A_n = \bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k. $$
   не даёт мне представления об этих объектах.

P.S. да, действительно каша у меня какая-то в голове (читаю «Теория меры» Халмоша).

[--mS--]

Rashitovich в сообщении #784450 писал(а):

1. Получается, определения $\liminf A_n$ и $\limsup A_n$ могут быть такими:
   • $\limsup A_n$ — множество, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности $A_n$; поэтому $\limsup A_n$ может быть несколько.

Последний вывод непонятен и неверен. $\limsup A_n$ - множество, каждый элемент которого принадлежит некоторой подпоследовательности множеств. Одно множество, а не несколько. По-русски: $x\in\limsup A_n$ тогда и только тогда, когда для всякого $n\geqslant 1$ найдётся $k\geqslant n$ такое, что $x\in A_k$.

З.Ы. Ровно это и написано в формуле через объединение пересечений.

[ewert]

--mS-- в сообщении #784468 писал(а):

Ровно это и написано в формуле через объединение пересечений.

(только наоборот, естественно)
Не ровно. Формулировки выглядят совершенно по-разному, и их эквивалентность надо доказывать.

Rashitovich в сообщении #784450 писал(а):

, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности $A_n$

Элемент не может принадлежать "подпоследовательности множеств". Но он может принадлежать пересечению всех множеств, входящих в подпоследовательность. Т.е. принадлежать каждому множеству из этой подпоследовательности. Так вот: существование такой подпоследовательности множеств для данного элемента равносильно тому, что этот элемент принадлежит $\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$ для каждого $n$. Т.е. равносильно его принадлежности $\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k\equiv\limsup A_n$.

[--mS--]

Да, конечно, пересечению объединений.