Свойство экспоненты [Анализ]

[Whitaker]

Здравствуйте!

Показать, что ряд $e^x$ не является отношением двух многочленов из $\mathbb{Q}[x]$.

Моя попытка решения: От противного. Пусть $e^x=\dfrac{p(x)}{q(x)},$ где $p, q \in \mathbb{Q}[x]$.
Умножая обе части на $q(x)$ получим: $e^xq(x)=p(x).$ Подставляя $x=1$ получаем $eq(1)=p(1)$. Пусть $p(1)=\alpha$ и $q(1)=\beta,$ причем $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}.$ Но число $e$ -- иррационально. Противоречие.

Подходит ли такое доказательство?

[Urnwestek]

Подходит, только «многочлены из $\mathbb{Q}[x]$» не очень аккуратно звучит. Лучше говорить «двух многочленов над $\mathbb{Q}$» или «двух элементов из $\mathbb{Q}[x]$» к слову, не так уж и сложно доказывается, что экспонента — не отношение двух многочленов над $\mathbb{R}$.