Ещё раз про эквивалентность б.м. функций на ночь глядя

[MestnyBomzh]

Скажите,почему в задаче $\lim_{x\to 0} (\frac{\arcsin x}{\arctg x})^{\frac{1}{x^2}}$ нельзя сделать эквивалентную замену $\arcsin x \sim x$ и $\arctg x \sim x$??

[Otta]

Потому что потеряете информацию.

$$\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}x\right)^x$$

не подскажете, чему равен?

[MestnyBomzh]

Otta в сообщении #783413 писал(а):

Потому что потеряете информацию.

$$\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}x\right)^x$$

не подскажете, чему равен?

$e$...но смысла пока что не улавливаю...

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #783436 писал(а):

но смысла пока что не улавливаю...

Otta в сообщении #783413 писал(а):

Потому что потеряете информацию.

Будем проще: чему равен, скажем, предел $\frac{x-\sin x}{x}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^2}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^3}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^{100500}}$?... неужто одному и тому же?...

[Otta]

ewert в сообщении #783440 писал(а):

Будем проще: чему равен, скажем, предел $\frac{x-\sin x}{x}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^2}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^3}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^{100500}}$?... неужто одному и тому же?...

Это плохое проще, ТС в них своей задачи не увидит: в них числитель со знаменателем эквивалентны разным вещам, причем каждый раз - все более разным.
Иначе:
MestnyBomzh
Чему равны:

Otta в сообщении #783413 писал(а):

$$\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}x\right)^x, \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}x\right)^x, \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+2}x\right)^x, \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x-1}x\right)^x, \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+\frac 1x}x\right)^x ?$$

Одному и тому же? А числитель и знаменатель эквивалентны $x$.
А почему пределы разные? Потому что, переходя к эквивалентности, Вы сохраняете информацию только о главной их части, $x$, и теряете о более малых добавках. Еще более упрощенно: все, что Вы не теряете - это что основание стремится к 1. Что же это значит? Это значит, что исходное выражение выглядело как $1+\text{б.м}$. И - что особенно важно (!)- значение предела зависело именно от этой $\text{б.м}$, $1/x$ она, $2/x$ или $1/(x^2)$. Вы от нее, по сути, избавились, радостно написав $1$ в произвольной степени, то есть сделали то, что Вам до этого всегда запрещали - перешли к пределу в основании в неопределенности $1^\infty$.

[MestnyBomzh]

Otta в сообщении #783498 писал(а):

ewert в сообщении #783440 писал(а):

Будем проще: чему равен, скажем, предел $\frac{x-\sin x}{x}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^2}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^3}$?... а $\frac{x-\sin x}{x^{100500}}$?... неужто одному и тому же?...

Это плохое проще, ТС в них своей задачи не увидит: в них числитель со знаменателем эквивалентны разным вещам, причем каждый раз - все более разным.
Иначе:
MestnyBomzh
Чему равны:

Otta в сообщении #783413 писал(а):

$$\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}x\right)^x, \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}x\right)^x, \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+2}x\right)^x, \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x-1}x\right)^x, \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+\frac 1x}x\right)^x ?$$

Одному и тому же? А числитель и знаменатель эквивалентны $x$.
А почему пределы разные? Потому что, переходя к эквивалентности, Вы сохраняете информацию только о главной их части, $x$, и теряете о более малых добавках. Еще более упрощенно: все, что Вы не теряете - это что основание стремится к 1. Что же это значит? Это значит, что исходное выражение выглядело как $1+\text{б.м}$. И - что особенно важно (!)- значение предела зависело именно от этой $\text{б.м}$, $1/x$ она, $2/x$ или $1/(x^2)$. Вы от нее, по сути, избавились, радостно написав $1$ в произвольной степени, то есть сделали то, что Вам до этого всегда запрещали - перешли к пределу в основании в неопределенности $1^\infty$.

Ааа,спасибо,понятно. А предположим,что изначальная задача была бы такой $\lim_{x\to 0}(\frac{\arcsin(x)}{\arctg(x)})^n$,где $n\in\mathbb R$ Предел здесь равен одному?Потому что в этом случае мы уже можем пренебречь этой б.м?

[Otta]

Конечно, равен. Показатель же от $x$ не зависит.