Задачка с подковыркой (карты)

[gris]

Если возникает желание по-настоящему разобраться в подобных задачах, лучше начинать с более простых, где можно вручную перебрать варианты, подумать о независимости событий, понять, от чего зависит ответ.
Например, рассмотрим двух игроков и 4 карты: В, Д, К, Т. Раздаём по две карты. Найти вероятность, что мальчики окажутся на одной руке. Интрига исходной задачи сохраняется.
Попробуем классическую формулу. Сколько вариантов готовой к раздаче колоды, равновероятны ли они, имеет ли значение способ раздачи, сколько удовлетворяющих нас вариантов? Тут можно даже написать на бумажке. Потом попробовать по-другому, по-третьему. Постепенно менять условие. Взять колоду из двух неразличимых королей и двух неразличимых дам.
А сразу разобраться в этих фак-ториалах совершенно невозможно

[temp03]

Евгений Машеров в сообщении #782616 писал(а):

Вообще, Вас не смущает, что в среднем игрок получает 0.5 короля? И можно ожидать, что наиболее вероятно получить либо 1, либо 0?

дык именно о том я и говорю, что сколько бы карт в колоде не было, будет либо 0 либо 1. В среднем 50/50, но никак не 1/5. 16000 и 16 не отличаются!

[Евгений Машеров]

А теперь "пойдём длинным путём".
Как мы уже заметили, достаточно посчитать вероятность 2К для первого (или для любого другого) игрока, и умножить на 4.
Короли и мелкие карты (фоски) могут придти в разном порядке:
ККФФ
КФКФ
КФФК
ФККФ
ФКФК
ФФКК
Вероятность прихода короля или фоски равна отношению числа карт данного вида в колоде к числу оставшихся в колоде карт, а вероятность прихода карт в одном из названных порядков - произведение вероятностей короля или фоски для данного шага. Очевидно, знаменатели последовательных вероятностей будут меняться, как 16, 15, 14 и 13, а числители будут равны 2 и 1 для королей и 14 и 13 для фосок. Столь же очевидно, что числители вероятностей разных комбинаций будут отличатся только порядком множителей.
Следовательно, вероятность прихода двух королей для первого игрока равна $6\frac{2\cdot1\cdot14\cdot13}{16\cdot15\cdot14\cdot13}=\frac{6\cdot2}{16\cdot15}=\frac 1 {20}$, а для одного из четверых игроков $\frac 1 5$

-- 31 окт 2013, 13:05 --

(Оффтоп)

temp03 в сообщении #782619 писал(а):

16000 и 16 не отличаются!

А Ваша барышня с Вами согласна?

[temp03]

Евгений Машеров, возьмите 100 карт, любых кроме королей. И раскладываем на 4 человека. Поменяется лишь знаменатель на $100\cdot99$, т.е. будет почти ноль? $\dfrac{2\cdot6}{99\cdot100}$

-- Чт окт 31, 2013 14:13:32 --

Ещё по другому. Если раскладываем 16 карт на двоих. Т.е. очевидно, что:
1) у одного два короля
2) у каждого по королю.
Итого 50/50.
А по вашему методу сколько? $\dfrac15\cdot2$?

[Евгений Машеров]

temp03 в сообщении #782622 писал(а):

Евгений Машеров, возьмите 100 карт, любых кроме королей. И раскладываем на 4 человека. Поменяется лишь знаменатель на $100\cdot99$, т.е. будет почти ноль? $\dfrac{2\cdot6}{99\cdot100}$

-- Чт окт 31, 2013 14:13:32 --

Ещё по другому. Если раскладываем 16 карт на двоих. Т.е. очевидно, что:
1) у одного два короля
2) у каждого по королю.
Итого 50/50.
А по вашему методу сколько? $\dfrac15\cdot2$?

1. Нет. Вы не заметили, что изменится и числитель.

2. Вы слишком доверяете своей интуиции. А она у Вас плохо разработана.

[temp03]

Евгений Машеров в сообщении #782629 писал(а):

1. Нет. Вы не заметили, что изменится и числитель.

Назовите ответ.

[Евгений Машеров]

Знаете, уважаемый, а сами разобраться не пробовали?
Извините, тут не решают за глупых и ленивых. Тут могут подсказать, могут указать на ошибки, но работать надо самому.

[Shadow]

temp03 в сообщении #782622 писал(а):

Ещё по другому. Если раскладываем 16 карт на двоих. Т.е. очевидно, что:
1) у одного два короля
2) у каждого по королю.
Итого 50/50.

Тогда и вероятность встретить на улице динозавра тоже 50/50 - или встречу, или не встречу.
16 карт, среди них 2 короля. Случайно выбираем 8 карт. Какова вероятность, что среди них будет ровно один король?

[nnosipov]

temp03, Вы занимаетесь какой-то алхимией. Объясните мне, что Вас не устраивает в следующем рассуждении.

Занумеруем карты числами от $1$ до $16$, пусть короли --- это карты $1$ и $2$. Будем считать раздачей карт произвольную перестановку $i_1$, $i_2$, ..., $i_{16}$, при этом первый игрок получает карты $i_1$, $i_2$, $i_3$, $i_4$, второй --- $i_5$, $i_6$, $i_7$, $i_8$ и т.д. Ясно, что всего раздач будет $16!$. Подсчитаем количество раздач, при которых карты $1$ и $2$ достаются первому игроку. Таких раздач будет $12 \cdot 14!$ ($12=4 \cdot 3$ --- это число способов разместить две фиксированные карты на четырёх данных позициях). Поэтому первый игрок получает карты $1$ и $2$ с вероятностью $12 \cdot 14!/16!=1/20$.

Что здесь не так? Зачем Вы изобретаете какие-то странные "интуитивные" соображения? Не лучше ли освоить стандартную технику решения стандартных задач?

[temp03]

Shadow в сообщении #782640 писал(а):

Тогда и вероятность встретить на улице динозавра тоже 50/50 - или встречу, или не встречу.
16 карт, среди них 2 короля. Случайно выбираем 8 карт. Какова вероятность, что среди них будет ровно один король?

Ладно. Раскладываем колоду
В - 7
5 - 3
А - А
4 - К
5 - Д
К - 2
6 - 7
8 - 8

короли распределились поровну. Чему равна вероятность попасть в правую или левую колонку? Она зависит от количества карт если королей два?

-- Чт окт 31, 2013 15:07:55 --

nnosipov в сообщении #782644 писал(а):

Занумеруем карты числами от $1$ до $16$, пусть короли --- это карты $1$ и $2$. Будем считать раздачей карт произвольную перестановку $i_1$, $i_2$, ..., $i_{16}$, при этом первый игрок получает карты $i_1$, $i_2$, $i_3$, $i_4$, второй --- $i_5$, $i_6$, $i_7$, $i_8$ и т.д. Ясно, что всего раздач будет $16!$. Подсчитаем количество раздач, при которых карты $1$ и $2$ достаются первому игроку. Таких раздач будет $12 \cdot 14!$ ($12=4 \cdot 3$ --- это число способов разместить две фиксированные карты на четырёх данных позициях). Поэтому первый игрок получает карты $1$ и $2$ с вероятностью $12 \cdot 14!/16!=1/20$.

Что здесь не так? Зачем Вы изобретаете какие-то странные "интуитивные" соображения? Не лучше ли освоить стандартную технику решения стандартных задач?

давайте, чтобы было проще игроков будет два. Тогда рассуждение будет то же. Но вероятность будет зависеть от количества карт $\lim\limits_{n\to\infty}{P}=0$. Чем больше карт сдаём, вероятность пары на руках будет стремиться к нулю?

[provincialka]

temp03 Немного "Промахнулись". У меня получилось, что вероятность, что короли разделились - $\frac{8}{15}$, а что они на одних руках - $\frac{7}{15}$.
Это для задачи о двух игроках и 16 картах.

[temp03]

provincialka в сообщении #782655 писал(а):

temp03 Немного "Промахнулись". У меня получилось, что вероятность, что короли разделились - $\frac{8}{15}$, а что они на одних руках - $\frac{7}{15}$.
Это для задачи о двух игроках и 16 картах.

интересно. А решение можно? Оч похоже на правду, но почему не 50/50? И сколько будет если карт будет 100?

[Shadow]

Именно, если 2 короля среди:
двух карт, вероятность что они разделились равна 1;
четырех карт будет 2/3
16 карт, как правильно отметили, 8/15
При $2n$ карт вероятность будет $\frac{n}{2n-1}$

[temp03]

Shadow в сообщении #782662 писал(а):

четырех карт будет 2/3

1)
К - Д
К - Д
2)
К - Д
Д - К
3)
Д - К
Д - К
4)
Д - К
К - Д

поровну, не? 4 варианта расклада. 50% - в одних руках, 50% - в разных. Точно так же с любым количеством карт $\geq4$. Половину раз короли попадут в разные руки, половину - в одни.

[provincialka]

Просто "в лоб". Подсчитаем, вероятность того, что в выбранных 8 картах ровно 1 король. Пусть этот король- первый. Вероятность будет равна $\frac{2}{16}\cdot\frac{14}{15}\cdot\frac{13}{14}\cdot\frac{12}{13}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{8}{9}=\frac{2\cdot8}{16\cdot15}=\frac{1}{15}$. Здесь первый сомножитель - вероятность того, что первая карта будет королем, остальные - вероятность того, что выпадет не король. Но король может оказаться на любом месте из 8, всего получаем $\frac{8}{15}$.

Впрочем, вторую вероятность посчитать проще. Вероятность того, что две первых карты окажутся королями равна $\frac{2}{16}\cdot\frac{1}{15}$, остальные карты с вероятностью 1 не будут королями. Но короли могут быть на любых из $\frac{8\cdot7}{2}$ парах мест. Итак, вероятность того, что первому игроку достанутся два короля равна $\frac{7}{30}$ и такая же вероятность того, что 2 короля будут у второго игрока.

-- 31.10.2013, 14:30 --

temp03, вы забыли главную заповедь решающего задачи по вероятности. Сперва - события, потом - вероятности. Если вы хотите решать подсчетом вариантов, вы должны указать пространство элементарных исходов и показать, что эти исходы равновероятны.