2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение29.10.2013, 10:55 


29/10/13
89
$\begin{equation}\label{eq:fourierrow}
f(x) = \frac{1}{n} - \sum \limits_{n=1}^{\infty} \ln^{\alpha}  \left( 1 + \sin{(1/n)} \right) 
\end{equation}$
Исследовать поведение ряда при разных альфа
Подскажите в каком направлении двигаться, через эквивалентность нельзя, пробовал по Тейлору, непонятно что делать с суммой о-малых

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение29.10.2013, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Почему через эквивалентность нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение29.10.2013, 11:10 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
PoorFellow Tom
$1/n$ впереди - она к чему? $f$ от $n$ не может зависеть. Может, она входит в общий член ряда? Исправьте, как должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение29.10.2013, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Как раз-таки через Тейлора и надо. Воспользуйтесь тем, что если $a_n = b_n + c_n$ и $c_n$ сходится абсолютно, то $a_n$ и $b_n$ ведут себя одинаково

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение29.10.2013, 20:55 


29/10/13
89
Otta , да, вы правы , ряд выглядит вот так :
$\begin{equation}\label{eq:fourierrow}
f(x) =  \sum \limits_{n=1}^{\infty} 1/n -\ln^\alpha\ \left( {1} + \sin(1/n) \right) 
\end{equation}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение29.10.2013, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
А все-таки, чему эквивалентно второе слагаемое (вычитаемое)? И какое из них главнее при разных $\alpha$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение30.10.2013, 06:34 


29/10/13
89
Оно эквивалентно $1/n^{\alpha}$ , при $\alpha>1$ уменьшаемое главнее, при $0<\alpha< = 1$ уменьшаемое главнее , при $\alpha$ < 0 вычитаемое главнее

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение30.10.2013, 07:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
К $\alpha=1$ отнеситесь внимательней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение30.10.2013, 19:49 


29/10/13
89
Когда $\alpha = 1$ получается ряд из нулей
А почему эквивалентностью все таки можно воспользоваться? Вроде бы разность же

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение30.10.2013, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Не получается ряд из нулей. Именно потому, что в этом конкретном случае эквивалентностью нельзя воспользоваться. И вообще лучше вместо нее записывать асимптотические равенства, т.е. указывать малость остатка. Тут, кстати, и формула Тейлора бы пригодилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение31.10.2013, 07:49 


29/10/13
89
так по Тейлору как раз и остается $ 1/n- ( 1/n+o (\sin(1/n))+ o (1/n))^{\alpha}$
и что в этом случае можно сказать про сумму о-малых?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение31.10.2013, 09:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
PoorFellow Tom
По Тейлору нужно выделить главный член разложения. Если $1/n$ уходит, то раскладывать нужно дальше. До тех пор, пока Вы не сможете написать, чему эквивалентен общий член.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение31.10.2013, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Какой-то у вас сильно урезанный Тейлор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение01.11.2013, 08:13 


29/10/13
89
Ну вот разложение до 3-его члена $ 1/n- ( 1/n-1/(n^{3}{3!})+1/(n^{5}{5!})+o (\sin(1/n))+ o (1/(n^{5}{5!})))^{\alpha}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение01.11.2013, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Оно нужно только для $\alpha=1$, в остальных случаях достаточно первого слагаемого в скобках.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group