Доказать ограниченность оператора в $L_p$

[Nimza]

Имеется оператор $C$, действующий на функции на комплексной окружности $|z|=1$ по правилу

$$ (Cf)(z) = \lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{|\zeta|=1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z(1+\varepsilon)} d\zeta, \quad |z| = 1. $$

Нужно как-то показать, что это ограниченный оператор в $L_p(S^1)$ при $p\in (1,\infty)$. Любые подсказки очень приветствуются. Мне даже не ясно, почему предел существует в каждой точке окружности для произвольной $L_p(S^1)$ функции :(

[sup]

Сначала этот оператор определяют на "хороших" функциях, а потом получают оценки и по непрерывности продолжают на суммируемые функции.
Вообще говоря, у Вас идет речь о граничных значениях кусочно-голоморфной функции определяемой по скачку. По формулам Сохоцкого-Племеля
$\Phi^+ - \Phi^- = f$
Ваш оператор выдает в точности $\Phi^-$.
Оценки можно получить следующим образом.
Оценка в $L_2$ получается совсем легко. Умножив указанное равенство на свое сопряженное и проинтегрировав, легко получить (учитывая принцип симметрии)
$\int |(\Phi^+)^2| + |(\Phi^-)^2|dt = \int |f|^2dt$
Действуя аналогично (возводим в степень), но немного хитрее, можно показать, что
$\int |(\Phi^+)|^{2k} + |(\Phi^-)|^{2k}dt \leqslant C(k) \int |f|^{2k}dt$
С помощью интерполяции получаем оценки для любого $p \geqslant 2$. Переходя к сопряженному оператору получаем оценки и для $p \leqslant 2$

[Nimza]

sup, спасибо за ответ.

Я согласен со всеми оценками для "хороших" функций, вплоть до гёльдеровых функций $f$, на которых всё ещё справедливы формулы Сохоцкого-Племеля (в книге Ablowitz, Fokas "Complex variables" эти формулы доказываются максимум для класса гёльдеровых функций $f$). Дальше, конечно, мы можем сказать, что операторы $\Phi^\pm$ непрерывно продолжаются единственным образом на $L_p(S^1)$ и перенести на них все полученные оценки. Но проблема в том, что ниоткуда ведь не следует, что это непрерывное продолжение даётся интегралом $Cf$, он просто может быть не определён на функциях из $L_p(S^1)$, а если и определён, то не быть линейным непрерывным оператором (то есть быть линейным продолжением, но не непрерывным). В итоге, как мне кажется, вопрос не сводится к тому, как оператор действует на хороших функциях.

[sup]

Положим

$$ T_{\varepsilon}f = \int\limits_{|\zeta|=1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z(1+\varepsilon)} d\zeta, \quad |z| = 1. $$

По идее, надо доказать, что для $f \in L_p$ семейство функций $T_{\varepsilon}f$ сходится к пределу по норме $L_p$.
Ну в самом деле. Из оценок на гладких функциях вытекает, что это семейство ограничено, а значит из него можно выбрать некую последовательность, слабо-сходящуюся к некоторому пределу $F$. Легко видеть, что этот предел как раз и совпадает с нашим оператором, определенным по непрерывности (умножаем на гладкие пробные функции, перебрасываем на них оператор и переходим к пределу).
Покажем, что и все семейство сходится к этой же функции, причем по норме $L_p$. Пусть это не так. Выбираем подпоследовательность $F_{\varepsilon} = T_{\varepsilon}f$ таких, что $\|F_{\varepsilon}|_p > \| F\|_p + \nu $. Это возможно с неким $\nu > 0$, поскольку по предположению сильной сходимости нет.
Теперь приближаем $f$ гладкой функцией с ошибкой достаточно малой (в зависимости от $\nu$). Применяем оценки для этой гладкой функции, оцениваем ошибки и получаем противоречие.
Как-то так.

[Nimza]

sup в сообщении #782661 писал(а):

Покажем, что и все семейство сходится к этой же функции, причем по норме $L_p$. Пусть это не так. Выбираем подпоследовательность $F_{\varepsilon} = T_{\varepsilon}f$ таких, что $\|F_{\varepsilon}|_p > \| F\|_p + \nu $. Это возможно с неким $\nu > 0$, поскольку по предположению сильной сходимости нет.

По-моему, таким способом можно только доказать, что выделенная слабо сходящаяся подпоследовательность сходится в $L_p$. Итак, мы получим что из ограниченного семейства $T_\varepsilon f$ можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в $L_p$. Но откуда будет следовать, что и всё семейство сходится в $L_p$? Откуда следует, что не может выполняться $\|F_\varepsilon\|_p \to \|F\|_p$?

[Oleg Zubelevich]

Легко разобрать случай $f\in L^2(S^1)$ действительно,

$$ -\frac{f(\zeta)}{\zeta-z(1+\varepsilon)}=\frac{f(\zeta)}{z(1+\varepsilon)}\sum_{k=0}^\infty\Big(\frac{\zeta}{z(1+\varepsilon)}\Big)^k $$

это очевидно ряд Фурье, а при интегрировании по $\zeta$ появятся коэффициенты Фурье функции f

[sup]

Nimza в сообщении #783345 писал(а):

sup в сообщении #782661 писал(а):

Покажем, что и все семейство сходится к этой же функции, причем по норме $L_p$. Пусть это не так. Выбираем подпоследовательность $F_{\varepsilon} = T_{\varepsilon}f$ таких, что $\|F_{\varepsilon}|_p > \| F\|_p + \nu $. Это возможно с неким $\nu > 0$, поскольку по предположению сильной сходимости нет.

По-моему, таким способом можно только доказать, что выделенная слабо сходящаяся подпоследовательность сходится в $L_p$. Итак, мы получим что из ограниченного семейства $T_\varepsilon f$ можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в $L_p$. Но откуда будет следовать, что и всё семейство сходится в $L_p$? Откуда следует, что не может выполняться $\|F_\varepsilon\|_p \to \|F\|_p$?

Да тут все стандартно. Единственность предела. От противного. Если есть "плохая" подпоследовательность, то она все-же ограничена и из нее можно выделить слабо-сходящуюся. Но ее предел должен совпасть с $F$ - противоречие.
Здесь главное, что если предел есть - то он не может быть каким-угодно, а в точности тот, что дается непрерывным продолжением.
Ну а дальше - строгая выпуклость нормы. Если последовательность сходится слабо и предел норм равен норме предела, то сходимость сильная.

[Oleg Zubelevich]

Относительно другой способ решения этой задачи (более простой имхо) рассмотрен в учебнике Берга Лефстрема "Интерполяционные пространства" у меня это стр 25