Элементарная задача и СТО

[Munin]

Nevin в сообщении #780715 писал(а):

Почему поворотом называют, когда там еще сдвиги (изменение масштаба) ?

Потому что с математической точки зрения это повороты. Поворот - это то, что оставляет неизменным формы и масштабы. Причём, и то и другое нельзя оценивать "на глаз". И то и другое следует выражать точно, через разрешённые средства: расстояния и углы. (Углы проще всего тоже выразить через расстояния, отметив на лучах угла точки, и задав в получившемся треугольнике все три стороны.)

Расстояния в пространстве-времени - это $s=\sqrt{\Delta t^2-\Delta x^2}.$ Поэтому то, что для вас "на глаз" выглядит как сдвиги и изменения масштаба - на самом деле, чистые повороты.

warlock66613 в сообщении #780723 писал(а):

Что мешает отобразить псевдоевклидово пространство на евклидово ?

Отсутствие смысла в таком отображении. Важная информация теряется (о псевдоевклидовом расстоянии), и появляется новая, ненужная, исходно отсутствовавшая (о евклидовом расстоянии).

Nevin в сообщении #780715 писал(а):

И неужели нет програмки, где эти оси можно крутить в реальном времени

Есть, но их не очень много, и они часто неудобны, неуниверсальны. Напишите такую! Сделаете хорошее дело.

[arseniiv]

Для моих рисунков я как раз сделал кручение осей — там был параметр, от которого зависели два вектора $(\ch a,\sh a)$ и $(\sh a,\ch a)$. Правда, все конструкции надо строить потом с помощью начала координат и этих векторов, а любые другие построения поворачиваться не будут.

[oleg_2]

Nevin, привожу ПВД (пространственно-временную диаграмму), такую же, какие уже были приведены,
но на ней еще дополнительно указано событие E, которое соответствует Вашему рисунку в сообщении
post780435.html#p780435. Событие E, это совпадение правого конца первого стержня с
точкой $x'=0,6$ второго стержня.
На этот рисунок попадают события A и E, т. к. они одновременны по часам ИСО', которая на этом рисунке
считается неподвижной. Вот Ваш рисунок, немного переделанный.


ПВД. Тонкие синие линии это световой конус. Штрихованные оси строят так: скорость -0,8, значит по оси
$t$ ,откладываем 1, а по оси $x$ -0,8. Через эту точку и через ноль проводим ось $t'$. Ось $x'$ с ней
симметрична относительно правого синего луча светового конуса.


Поворот гиперболический, поэтому деления на оси наносят по-другому, по ссылке коротко написано как:
post641309.html#p641309
Ни что не мешает назвать ИСО' неподвижной, и провести построение ПВД, считая ее неподвижной.

[Nevin]

Munin в сообщении #780737 писал(а):

Потому что с математической точки зрения это повороты. Поворот - это то, что оставляет неизменным формы и масштабы.

Если таково определение, то мне сказать нечего. Я всего-лишь констатирую, что выбранный способ представления ПВД (пространственно-временных диаграмм) не соответствует моей интуиции. Возможно, есть какие-то препятствия, математического характера, запрещающие изменять масштаб линеек осей координат при поворотах в обычном Евклидовом пространстве, мне они неизвестны. Даже, если таковые имеются, прошу меня простить, но я выйду за рамки этих запретов.

Munin в сообщении #780737 писал(а):

Причём, и то и другое нельзя оценивать "на глаз". И то и другое следует выражать точно, через разрешённые средства: расстояния и углы. (Углы проще всего тоже выразить через расстояния, отметив на лучах угла точки, и задав в получившемся треугольнике все три стороны.)

Абсолютно, согласен, дело ведь не в вычислениях, а в представлении результатов, в максимально естественном, наглядном виде, в "проекции" на плоскость Декартовых координат в Евклидовом пространстве.
По крайне мере, я эту цель себе поставил.

Munin в сообщении #780737 писал(а):

Расстояния в пространстве-времени - это $s=\sqrt{\Delta t^2-\Delta x^2}.$ Поэтому то, что для вас "на глаз" выглядит как сдвиги и изменения масштаба - на самом деле, чистые повороты.

Это можно понять, с трудом, правда, но почему бы этот эффект не использовать в представлении пространства Минковского в обычных, естественных, всем со школы, понятных терминах, Евклидова пространства ?
Я говорю о методике преподавания.
На мой взгляд, то, что я "нарыл" в Интернете о пространстве Минковского, до нельзя зашорино "физическими" прикладными терминами, которые только мешают понять суть дела, аналогию и различие пространства Минковского и пространства Евклида, как таковых, вне прикладного физического значения.

Munin в сообщении #780737 писал(а):

Отсутствие смысла в таком отображении. Важная информация теряется (о псевдоевклидовом расстоянии), и появляется новая, ненужная, исходно отсутствовавшая (о евклидовом расстоянии).

Это мне не понятно. Все-таки, все опыты, метрология, все основано на Евклидовых приближениях, малых скоростях, расстояниях, времени, только через это мы способны понять смысл более сложных вещей. Ни один человек не способен видеть, ощущать, понимать, реальный мир, людей, машины, дома, города, природу в четырехмерном пространстве-времени. Все формулируется изначально в понятных со школы терминах Евклидова пространства, примитивных, но очевидных и ощущаемых, все опирается на этот опытный фундамент, убери его – ничего не останется.

Munin в сообщении #780737 писал(а):

Есть, но их не очень много, и они часто неудобны, неуниверсальны. Напишите такую! Сделаете хорошее дело.

Я постараюсь, хотя программирование давно забросил, но кое-что еще помню. Работа не позволяет уделять много времени этому занятию.

Как Вы поняли, с пространством Минковского меня никто не знакомил, тем не менее, мне это интересно и по мере сил и времени, я все-таки постараюсь сделать что-то полезное. Думаю, "чайников", но интересующихся, любопытствующих, вроде меня, полно и, во многом, это не наша вина, а вина образовательной системы.
Я попробую своими словами описать, что мне не нравится в вышеприведенных ПВД (не умаляя трудов тех, кто отвечал по существу и пытался мне помочь понять).

Первое, что мне не понравилось – это не совпадение осей координат, в частности пространственной оси $x'$ на последней диаграмме с движущимся стержнем. Очевидно (для меня), что раз стержень покоится в ИСО', то он дожжен лежать на оси $x'$, тем не менее, я наблюдаю там не малый угол.
Второе, я так и не понял претензии по поводу сдвига и изменения масштаба применительно к проекции на Декартовы координаты в Евклидовой плоскости. Именно это я и назвал "покрутить, ощутить на опыте".

Для начала мне (и остальным "чайникам") нужно, хотя бы, разобраться, с тем, что это за зверь такой, "геометрия Минковского".
И делать я это намерен ни с "мировых линий", "световых конусов" и прочих лишних, по началу терминов, которые только сбивают с толку, а с обычной Евклидовой геометрии. Думаю, именно здесь и порылась собака "альтернативщиков", которых так и тянет опровергнуть СТО.
Изначальная неадекватность подачи материала, неверная методика преподавания, ошибочная программа - вот, на мой взгляд, главная причина отторжения.
Попробую по своему, для "нормальных" людей, не знакомых, ни разу со СТО.
Вот обычный треугольник в Декартовой плоскости.


Но, что-то с ним не так.
Почему-то расстояние $AD=3$, хотя по теореме Пифагора должно быть $AD=\sqrt{5^2+4^2}=6,40…$
Это, пожалуй, самый первый перл постулат, геометрии Минковского, который до меня дошел. Расстояние между точками в Декартовых координатах, определяется не по теореме Пифагора, как учили в школе, а по "теореме Минковского" $AD=\sqrt{OD^2-OA^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
Соответственно, все тригонометрические функции углов на плоскости Минковского, уже не будут равны тем величинам, которые получаются на плоскости Евклида.
Например, отношение прилежащего катета к гипотенузе $\frac {OA}{DA}$- косинус угла альфа, уже не будет равен $4/6,04=0,662…$, как в Евклидовой геометрии, а будет равен $4/3=1.33…$, а синус, вместо $\frac {DE}{AD}=5/6,04=0,8278…$, будет равен $5/3=1,66…$.
Тангенс, хотя и останется равным $\frac {OD}{OA}=\frac{5}{4}=1,25$, как в Евклиде, однако, уже не будет связан с синусом и косинусом большинством известных в Евклиде тригонометрических формул, т.к. основное тригонометрическое тождество уже не будет выполняться $\sin^2 \Alpha + \cos^2 \Alpha \neq 1$.
В пространстве Минковского должны быть свои тригонометрические "тавтологии" и тождества.
Следующий "шедевр" геометрии Минковского - равнобедренный прямоугольный треугольник.

В полном соответствии с теоремой Пифагора Минковского, длинна, гипотенузы строго равна $AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt {4^2-4^2}=0$ нулю. Прикинув на коленке, что синус и косинус "болтаются" около величины $\frac{4}{0}$, уверенно, идем дальше.
Немного воображения и можно мысленно поэкспериментировать с масштабом линейки, приложенной к гипотенузе при разных углах ее наклона. Если уменьшать угол, масштаб начнет медленно "приходить в себя", на гипотенузе $AD$ начнут появляться точки, отмечающие единичные отрезки. Сначала одна, потом две, три, и наконец, четыре. Правда, "длинна" гипотенузы перейдет в комплексную плоскость, пока не сравняется с масштабом оси $x$, при нулевом угле наклона гипотенузы.
Если же угол увеличивать, то масштаб линейки начнет неограниченно расти, асимптотически приближаясь к масштабу оси $y$.

P.S. Если критических ошибок нет, и принципиальных возражений не последует (желательна поддержка и помощь), то я готов изобразить гораздо более наглядную проекцию на Евклидову плоскость в Декартовых координатах поворота в пространстве Минковского. Сразу оговорюсь, что при этом будет менять масштаб "линеек" осей координат и $x,y$ и $x',y'$.

[warlock66613]

Nevin в сообщении #782307 писал(а):

сновное тригонометрическое тождество уже не будет выполняться $\sin^2 \Alpha + \cos^2 \Alpha \neq 1$.

Вы всё правильно заметили. Та роль, которую "у Евклида" играют тригонометричекие функции, "у Минковского" переходит к гиперболическим функциям. Они, кстати, в некотором роде проще: выражаются через действительные экспоненты (гиперболический синус - это, по определению, функция $\sh x = (e^x - e^{-x})/2$, косинус, соответсвенно, $\ch x = (e^x + e^{-x})/2$). Нетрудно найти "основное гиперболическое тождество":

$$\ch^2 x - \sh^2 x = \left(\frac {e^x + e^{-x}} 2\right)^2 - \left(\frac {e^x - e^{-x}} 2\right)^2 = {\frac 1 4}\left(e^{2x} + 2e^0 + e^{-2x} - e^{2x} + 2e^0 - e^{-2x}\right) = 1$$

-- 31.10.2013, 00:50 --

Nevin, пожалуста не забывайте, что оси "разные" - одна "с плюсом", другая - с "минусом". Решите, какую вы будете изображать вертикально, а какую - горизонтально. А то вы в первом рисунке посчитали так, а на втором - наоборот (хотя и так и так ноль получается конечно). Но вообще гипотенуза нулевой длины - это, пожалуй, ещё не самое странное. Вот гипотенуза, квадрат длины которой отрицателен...

Ещё не будет лишним упомянуть, что кроме геометрии Минковского есть ещё геометрия Галилея, то есть геометрия классической нерелятивистской ньютоновой механики. И по "странностям" она может поспорить с геомерией Минковского. Где-то на форуме долна быть тема, в которой упоминается книга с описанием этой геометрии (я оттуда про неё и узнал).

-- 31.10.2013, 00:52 --

Книга так и называется "Геометрия Галилея". Автор - Хачатурян А. В.

[Munin]

Nevin в сообщении #782307 писал(а):

Я всего-лишь констатирую, что выбранный способ представления ПВД (пространственно-временных диаграмм) не соответствует моей интуиции.

О, это да! Это у всех так. Выход один - переучивать свою интуицию!!! :-)

Nevin в сообщении #782307 писал(а):

Абсолютно, согласен, дело ведь не в вычислениях, а в представлении результатов, в максимально естественном, наглядном виде, в "проекции" на плоскость Декартовых координат в Евклидовом пространстве.
По крайне мере, я эту цель себе поставил.

Вот максимально естественный вид - это пространственно-временные диаграммы.

Все другие способы - не дают полной мощи и наглядности. Проверено временем.

Например, простейшая задача механики: упругое столкновение двух частиц. В произвольной системе отсчёта. Фиг вы её графически решите без пространственно-временных диаграмм.

Nevin в сообщении #782307 писал(а):

На мой взгляд, то, что я "нарыл" в Интернете о пространстве Минковского, до нельзя зашорино "физическими" прикладными терминами, которые только мешают понять суть дела, аналогию и различие пространства Минковского и пространства Евклида, как таковых, вне прикладного физического значения.

Это просто потому, что интернет - большая помойка. Нарыть что-то ценное - надо уметь, и знать где искать.

Суть дела прекрасно изложена в десятках учебников. И в интернете они есть. Но надо сначала найти, и сообразить что скачивать.

Nevin в сообщении #782307 писал(а):

Это мне не понятно. Все-таки, все опыты, метрология, все основано на Евклидовых приближениях, малых скоростях, расстояниях, времени, только через это мы способны понять смысл более сложных вещей.

Вы кое-что забываете в своём пафосе. В четырёхмерном пространстве-времени есть евклидовы трёхмерные подпространства. Они никуда не деваются.

А во-вторых, опыты и метрология с начала 20 века основаны в том числе и на больших скоростях, и на четырёхмерных интервалах. Опыты с быстрыми частицами, например, нельзя измерять без СТО, "на евклидовых приближениях".

Nevin в сообщении #782307 писал(а):

Ни один человек не способен видеть, ощущать, понимать, реальный мир, людей, машины, дома, города, природу в четырехмерном пространстве-времени.

Да ладно, я способен :-) Полно таких людей, кто способен.

Терри Пратчетт. Творцы заклинаний

Цитата:

Волшебник посмотрел на кошку, и только тут до него дошло, насколько странно она выглядит.

Живым невдомек, насколько сложно выглядит мир с точки зрения покойника, потому что смерть, освобождая разум от смирительной рубашки, в которой его держат три измерения, отсекает его также и от Времени, которое есть не что иное, как еще одно измерение. Хотя трущаяся о невидимые ноги Биллета кошка оставалась той же самой кошкой, которую он видел несколькими минутами раньше, она также являлась и крошечным котенком, и толстой, полуслепой старой кошачьей матроной, и всеми промежуточными стадиями. Одновременно. В результате кошка смахивала на белую кошкообразную морковку - описание, которым придется довольствоваться, пока люди не изобретут четырехмерные прилагательные.

Nevin в сообщении #782307 писал(а):

Как Вы поняли, с пространством Минковского меня никто не знакомил

Да господи, чего там знакомиться, почитайте книжку, там всё просто!

Nevin в сообщении #782307 писал(а):

Соответственно, все тригонометрические функции углов на плоскости Минковского, уже не будут равны тем величинам, которые получаются на плоскости Евклида.

А, я хотел рассказать про гиперболические функции, но здесь уже ответили...

warlock66613 в сообщении #782424 писал(а):

Ещё не будет лишним упомянуть, что кроме геометрии Минковского есть ещё геометрия Галилея, то есть геометрия классической нерелятивистской ньютоновой механики. И по "странностям" она может поспорить с геомерией Минковского. Где-то на форуме долна быть тема, в которой упоминается книга с описанием этой геометрии (я оттуда про неё и узнал).

-- 31.10.2013, 00:52 --

Книга так и называется "Геометрия Галилея". Автор - Хачатурян А. В.

Тж.
Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.

[warlock66613]

Munin в сообщении #782443 писал(а):

А, я хотел рассказать про гиперболические функции

Ну так, все хотят.

Munin в сообщении #782443 писал(а):

Тж.
Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.

Во! Она самая. Её я как раз и читал. А Хачатуряна не читал (и не буду).

[Sergeevich]

Есть еще такая книга об этом.
[url ="http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/TejlorUiler1971ru.djvu"] Физика пространства и времени [/url]
К ней тоже есть вопросы, но это другая тема.

[vvb]

Sergeevich в сообщении #782615 писал(а):

Есть еще такая книга об этом.

Не... там СТО рассматривается. А в Ягломе - классическая механика в основном.

[Munin]

Nevin-у, конечно,
Тейлор, Уилер. Физика пространства-времени.
в самый раз книга. Кроме того, можно порекомендовать
Бёрке. Пространство-время, гравитация, космология.
(там подробнее геометрические аспекты дела), и
Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение.