Представлении функции по ее полюсам

[hjury]

Вопрос очень простой, пусть нам дана функция $f(z)$ регулярная на всех комплексной плоскости за исключением точек $z=0$, $z=1$, $z=-1$, которые есть полюса. Также известно, что $\lim_{z\to\infty}{f(z)}=1$. Требуется найти общий вид функции $f(z)$.

Как я думаю, $f(z)$ есть мероморфная функция, а значит она представима в виде
$f(z)=G(z) + g(\frac{1}{z})+g(\frac{1}{z-1})+g(\frac{1}{z+1})$, где $g(\frac{1}{z-a_k})$ есть главная часть ряда лорана в точке $a_k$, а $G(z)$ - целая функция. Все ли правильном в данном рассуждении, если да, то как использовать условие на бесконечности?

[ewert]

hjury в сообщении #782256 писал(а):

Также известно, что $\lim_{z\to\infty}{f(z)}=1$.

Это означает (по теореме Лиувилля), что функция есть правильная рациональная дробь плюс константа. Осталось лишь найти общий вид этой дроби.

[hjury]

Цитата:

Это означает (по теореме Лиувилля), что функция есть правильная рациональная дробь плюс константа. Осталось лишь найти общий вид этой дроби.

Теорема Лиувилля, это которая гласит, что если функция аналитична в комплексной плоскости и ограничена на ней, то она константа? Если да, то как тут можно эту теорему применить?

[ewert]

hjury в сообщении #782328 писал(а):

Теорема Лиувилля, это которая гласит, что если функция аналитична в комплексной плоскости и ограничена на ней, то она константа?

Это "маленькая" теорема Лиувилля. Но есть и "большая": если целая функция растёт на бесконечности не быстрее некоторой степени, то она -- многочлен (доказывается не намного сложнее "маленькой"). И вот из неё всё следует очень быстро.

[hjury]

Цитата:

И вот из неё всё следует очень быстро.

Хм, однако, я не вижу, как из этого условия определить вид функции.

[provincialka]

Может, помножить ее на множители так, чтобы полюсы превратились в устранимые разрывы?

[ewert]

Умножьте исходную функцию на произведение достаточно больших степеней тех $(z-z_0)$ -- достаточно больших для того, чтобы погасить полюса. Формально эти полюса превратятся в устранимые особые точки, а фактически функция станет просто целой. И по теореме Лиувилля окажется многочленом. Дальше, надеюсь, понятно.

-- Ср окт 30, 2013 22:33:21 --

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #782344 писал(а):

Может,

извините, что нечаянно перебил

[hjury]

Конечный ответ, это
$f(z)=C+\frac{1}{z-1}+ \frac{1}{z+1} + \frac{1}{z}$
?

[provincialka]

А что, полюсы все простые? И почему в числителях именно единицы?

[hjury]

Цитата:

И вот из неё всё следует очень быстро.

Прошу извинить, описался, да полюса простые, это по условию, которое я не написал, по собственной невнимательности

$f(z)=C+\frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z-1}+\frac{a_3}{z+1}$

[ewert]

Тогда правильно; осталось лишь рассекретить Цэ.

[hjury]

Цитата:

Тогда правильно; осталось лишь рассекретить Цэ.

Как понимаю, оно равно единице?

[ewert]

Понимаете-то правильно; но к чему такая застенчивость?...

[hjury]

Цитата:

Понимаете-то правильно; но к чему такая застенчивость?...

Неуверенность наверное. В любом случае, спасибо за помощь.

[ewert]

hjury в сообщении #782372 писал(а):

Неуверенность наверное.

Да наверняка уж в чём-в чём, а в этом Вы уверены. Не надо бояться нахамить. Хамство в форуме -- это святое (если, конечно, оно по делу, а не бла-бла-бла).