2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 17:27 
Вопрос очень простой, пусть нам дана функция $f(z)$ регулярная на всех комплексной плоскости за исключением точек $z=0$, $z=1$, $z=-1$, которые есть полюса. Также известно, что $\lim_{z\to\infty}{f(z)}=1$. Требуется найти общий вид функции $f(z)$.

Как я думаю, $f(z)$ есть мероморфная функция, а значит она представима в виде
$f(z)=G(z) + g(\frac{1}{z})+g(\frac{1}{z-1})+g(\frac{1}{z+1})$, где $g(\frac{1}{z-a_k})$ есть главная часть ряда лорана в точке $a_k$, а $G(z)$ - целая функция. Все ли правильном в данном рассуждении, если да, то как использовать условие на бесконечности?

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 17:35 
hjury в сообщении #782256 писал(а):
Также известно, что $\lim_{z\to\infty}{f(z)}=1$.

Это означает (по теореме Лиувилля), что функция есть правильная рациональная дробь плюс константа. Осталось лишь найти общий вид этой дроби.

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 20:43 
Цитата:
Это означает (по теореме Лиувилля), что функция есть правильная рациональная дробь плюс константа. Осталось лишь найти общий вид этой дроби.


Теорема Лиувилля, это которая гласит, что если функция аналитична в комплексной плоскости и ограничена на ней, то она константа? Если да, то как тут можно эту теорему применить?

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:23 
hjury в сообщении #782328 писал(а):
Теорема Лиувилля, это которая гласит, что если функция аналитична в комплексной плоскости и ограничена на ней, то она константа?

Это "маленькая" теорема Лиувилля. Но есть и "большая": если целая функция растёт на бесконечности не быстрее некоторой степени, то она -- многочлен (доказывается не намного сложнее "маленькой"). И вот из неё всё следует очень быстро.

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:27 
Цитата:
И вот из неё всё следует очень быстро.

Хм, однако, я не вижу, как из этого условия определить вид функции.

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:28 
Аватара пользователя
Может, помножить ее на множители так, чтобы полюсы превратились в устранимые разрывы?

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:32 
Умножьте исходную функцию на произведение достаточно больших степеней тех $(z-z_0)$ -- достаточно больших для того, чтобы погасить полюса. Формально эти полюса превратятся в устранимые особые точки, а фактически функция станет просто целой. И по теореме Лиувилля окажется многочленом. Дальше, надеюсь, понятно.

-- Ср окт 30, 2013 22:33:21 --

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #782344 писал(а):
Может,

извините, что нечаянно перебил

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:34 
Конечный ответ, это
$f(z)=C+\frac{1}{z-1}+ \frac{1}{z+1} + \frac{1}{z}$
?

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:36 
Аватара пользователя
А что, полюсы все простые? И почему в числителях именно единицы?

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:37 
Цитата:
И вот из неё всё следует очень быстро.


Прошу извинить, описался, да полюса простые, это по условию, которое я не написал, по собственной невнимательности

$f(z)=C+\frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z-1}+\frac{a_3}{z+1}$

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:42 
Тогда правильно; осталось лишь рассекретить Цэ.

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:47 
Цитата:
Тогда правильно; осталось лишь рассекретить Цэ.

Как понимаю, оно равно единице?

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:51 
Понимаете-то правильно; но к чему такая застенчивость?...

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 21:55 
Цитата:
Понимаете-то правильно; но к чему такая застенчивость?...


Неуверенность наверное. В любом случае, спасибо за помощь.

 
 
 
 Re: Представлении функции по ее полюсам
Сообщение30.10.2013, 22:00 
hjury в сообщении #782372 писал(а):
Неуверенность наверное.

Да наверняка уж в чём-в чём, а в этом Вы уверены. Не надо бояться нахамить. Хамство в форуме -- это святое (если, конечно, оно по делу, а не бла-бла-бла).

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group