Разложение в ряд Лорана

[xenich]

$ f(z)=\frac{1}{(1-z^4)(z^3+z^2+z+1)}$ в $|z|<0$

разбил на простейшие:
$=\frac{5}{16(z+1)}-\frac{z-1}{4(z^2+1)^2}-\frac{1}{16(z-1)}-\frac{z-1}{4(z^2+1)}+\frac{1}{8(z+1)^2}$

Получил:
$f(z)=\frac{5}{16}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}nz^{2(n-1)}+\frac{1} {4}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nz^{2n-1}+ \frac{1}{16}\sum_{n=0}^{\infty}z^n +\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}z^{2n+1}+\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{2n}+\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}nz^{n-1} $

Вопрос №1 - подозреваю, что можно было сделать как-то попроще
Вопрос №2 - тут наверняка есть преподаватели. Позволили бы вы оставить эти суммы как есть ? Например, в Шабунине в ответах я встречал не более трёх рядов в сумме

[provincialka]

А что за сумма во второй скобке, не узнаете? Нельзя ли ее записать покороче (геом. прогрессия)?

[ewert]

provincialka в сообщении #782235 писал(а):

Нельзя ли ее записать покороче (геом. прогрессия)?

Нельзя: требуется именно ряд Лорана, а не сумма геометрических прогрессий.

xenich в сообщении #782233 писал(а):

в $|z|<0$

Это круто.

xenich в сообщении #782233 писал(а):

подозреваю, что можно было сделать как-то попроще

Можно, и намного проще. Домножьте числитель и знаменатель на $(z-1)$ -- получится (с точностью до одного умножения, одного деления и одного дифференцирования) лишь одна сумма.

xenich в сообщении #782233 писал(а):

наверняка есть преподаватели. Позволили бы вы оставить эти суммы как есть ?

Преподаватели бывают разные. Говоря формально -- раз уж ряд, то он должен быть только один, т.е. все полученные по ходу дела ряды надо почленно складывать. Если выражения для общего члена получаются неуклюжими (так случается), то можно проявить определённую снисходительность; но у Вас в любом случае явный перебор.

[provincialka]

Про прогрессию я видимо намекнула слишком уж туманно. Я имею в виду равенство $x^3+x^2+x+1=\frac{1-x^4}{1-x}$

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #782254 писал(а):

я видимо намекнула слишком уж туманно

уж что туманно, то туманно

[xenich]

да ничего туманного, сложив первые 4 члена этой прогрессии получим как раз $\frac{1-x^4}{1-x}$ За наводку - спасибо.
Получил вот что
$\frac{1-z}{(1-z^4)^2}=(z-1){(\sum_{n=0}^{\infty}z^{4n})}'=(z-1) \sum_{n=0}^{\infty}4nz^{4n-1}=(z-1) \sum_{n=1}^{\infty}4nz^{4n-1}$
Действительно намного проще, спасибо. Но меня мучает вот что: в нуле функция равна 1. а подставляя ноль в ряд - получаем ноль

[ewert]

xenich в сообщении #782262 писал(а):

а подставляя ноль в ряд - получаем ноль

а Вы разделить забыли.

Ну и потом надо всё-таки раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые.

[xenich]

$\sum_{n=1}^{\infty}4n(z^{4n}-z^{4n-1})$

ewert в сообщении #782265 писал(а):

а Вы разделить забыли.

как забыл?
$\frac {1-0}{(1-0^4)^2}=1$
в то время как:
$\sum_{n=1}^{\infty}4n(0^{4n}-0^{4n-1})=0$
Видимо, на сегодня с меня хватит рядов ))

[ewert]

xenich в сообщении #782269 писал(а):

как забыл?

чему равна производная дроби?

[xenich]

ewert в сообщении #782272 писал(а):

xenich в сообщении #782269 писал(а):

как забыл?

чему равна производная дроби?

ах ну да. Теперь всё становится на свои места.

[provincialka]

А я бы не так рассуждала. Есть стандартное разложение $(1+t)^{-2}=1-2t+3t^2-4t^3+...$. Подставляем в него $t=-z^4$, получаем $\sum\limits_0^{+\infty}(n+1)z^{4n}$. Теперь осталось только на $1-z$ умножить.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #782276 писал(а):

Есть стандартное разложение $(1+t)^{-2}=1-2t+3t^2-4t^3+...$

Что значит "стандартное"? Помнить много формул -- вредно. Помнить надо стандартные приёмы.

[provincialka]

ewert в сообщении #782279 писал(а):

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #782276 писал(а):

Есть стандартное разложение $(1+t)^{-2}=1-2t+3t^2-4t^3+...$

Что значит "стандартное"? Помнить много формул -- вредно. Помнить надо стандартные приёмы.

(Оффтоп)

Черт, а я запомнила Придется срочно забывать.
Да ладно, эта формула как раз легко получается из геом. прогрессии, и дифференцировать проще.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #782281 писал(а):

эта формула как раз легко получается из геом. прогрессии, и дифференцировать проще.

так о том и речь, что гораздо проще помнить, что она легко получается дифференцированием, чем зубрить её саму

[provincialka]

ewert в сообщении #782284 писал(а):

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #782281 писал(а):

эта формула как раз легко получается из геом. прогрессии, и дифференцировать проще.

так о том и речь, что гораздо проще помнить, что она легко получается дифференцированием, чем зубрить её саму

(Оффтоп)

Чем поклясться, что я ее не зубрила? Просто 25 лет преподавала матан. Я не предлагаю ТС ее помнить, но с нее начать.