Уважаемый Munin, Вы решили всерьез взяться за задачу дифракции на двигающемся теле. Я немного продвинулся в этом вопросе и еще до этого получил соотношения, для тензора диэлектрической и магнитной проницаемости, которые Вам с удовольствием приведу.
Два релятивистских уравнения можно расписать в виде
![$ \vec D+\frac{1}{c}[\vec V,\vec H]=\varepsilon (\vec E+\frac{1}{c}[\vec V,\vec H]) $ $ \vec D+\frac{1}{c}[\vec V,\vec H]=\varepsilon (\vec E+\frac{1}{c}[\vec V,\vec H]) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/d/7cdb10f8e78e179c27407c3848d5ffb882.png)
![$ \vec B+\frac{1}{c}[\vec E,\vec V]=\mu (\vec H+\frac{1}{c}[\vec D,\vec V]) $ $ \vec B+\frac{1}{c}[\vec E,\vec V]=\mu (\vec H+\frac{1}{c}[\vec D,\vec V]) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/d/3dd6b6f491c820385af21d059d6db5bd82.png)
Перенесем векторы магнитной и электрической индукции в одну сторону, а векторы напряженности поля в другую, получим
![$ \vec D-\frac{\varepsilon}{c}[\vec V,\vec B]=\varepsilon \vec E-\frac{1}{c}[\vec V,\vec H] $ $ \vec D-\frac{\varepsilon}{c}[\vec V,\vec B]=\varepsilon \vec E-\frac{1}{c}[\vec V,\vec H] $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/e/14e09911b5816d989068b2b5cdd593b082.png)
![$ \frac{\mu}{c}[\vec V,\vec D]+\vec B=\mu \vec H+\frac{1}{c}[\vec V,\vec E]\eqno(3) $ $ \frac{\mu}{c}[\vec V,\vec D]+\vec B=\mu \vec H+\frac{1}{c}[\vec V,\vec E]\eqno(3) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/6/ec68bfab94c627090d95c9cfdd628b7582.png)
Перейдя в систему координат, в которой имеем следующее представление скорости

при остальных произвольных значениях других векторных величин, используя
![$ [\vec V,\vec B]=-\vec jVB_3+\vec k V B_2$ $ [\vec V,\vec B]=-\vec jVB_3+\vec k V B_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/e/5ae72230432411da98d960b1d5dd805f82.png)
Распишем первое равенство (3) по координатам



Распишем второе равенство (3)



Группируем второе уравнение (4) и третье уравнение (5). Получим систему уравнений второго порядка

Решая это уравнение, получим

будем исследовать это выражение при условии

. Поскольку внешнее поле произвольно, то в этом случае электрическая и магнитная индукция стремятся к бесконечности. Исследуем случай, когда напряженности поля таковы, что числители (7) равны нулю. Для этого приравняем числители этого выражения нулю, получим систему уравнений


Для существования отличного от нуля решения необходимо выполнение

извлекая корень из этого уравнения, получим квадратное уравнение

Это уравнение имеет два действительных корня, равные


Аналогичные выкладки можно провести для третьего уравнения (4) и второго уравнения (5). Получим уравнение


При этом получим значение индукции поля, равное


Это уравнение отличается от уравнения (6) заменой знака у величины скорости и заменой индекса с 2 на 3 и наоборот.
Т.е. получаем конечное поле, при величине скорости удовлетворяющей


При этом, надо брать скорости одного знака в формулах, полученных из (7) и (9). Значит при скорости движения, равной

получаем соотношение между магнитной и электрической напряженностью


т.е. образуют плоскую волну, знак которой зависит от знака частоты электромагнитного поля
![$ \vec E=\pm \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}[\vec n,\vec H],\vec n=(1,0,0) $ $ \vec E=\pm \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}[\vec n,\vec H],\vec n=(1,0,0) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/4/8d49113618fb6642bfb0c7f6724ec90b82.png)
Такая линейная связь является единственной связью между полярным и аксиальным вектором. Причем величина может иметь произвольные значения. Используя полученные связи (10) величина

определится однозначно. При этом, получим величиной

. Раскладывая левую часть равенства (10) в векторное произведение, вычисляя коэффициент

, получим условие

. При этом магнитная и электрическая индукция имеют конечное значение.
При этом индукции электромагнитного поля в случае равенства нулю числителя, который соответствует плоскому бесконечному пространству, занятому диэлектриком, с плоской волной, равны (при этом берем положительный знак у связи векторов

)


При этом индукции электромагнитного поля равны, (при этом берем отрицательный знак у связи векторов

)


Но дело в том, что такое конечное значение электромагнитного поля достигается при распространяющейся в теле плоской волне.
Т.е. в случае произвольного тела электромагнитное поле внутри тела имеет более сложный вид в случае двигающегося с фазовой скоростью тела, что приводит к бесконечному значению индукции электромагнитного поля, так как в формулах (7) или (9) числитель не равен нулю, а знаменатель равен нулю. Так как такое значение поля невозможно, значит, скорость движения тела, равная фазовой скорости электромагнитной волны в неподвижном теле невозможна.
Обобщением формул связи индукции с напряженностью для произвольного тела является формула в системе координат, где скорость имеет одну не нулевую первую проекцию.
![$ \vec D=\alpha \vec E+\gamma [\vec V,\vec H] $ $ \vec D=\alpha \vec E+\gamma [\vec V,\vec H] $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/8/6786f5c96fdc0514696aa8de3a1d89f082.png)
![$ \vec B=\beta \vec H+\gamma [\vec E,\vec V] $ $ \vec B=\beta \vec H+\gamma [\vec E,\vec V] $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/4/68423330913189e54daf58df1b15a84482.png)




У ЛЛ есть аналогичная формула с другими коэффициентами, являющимися совпадающими при малых скоростях. Сделаем предположение, что этот закон справедлив для произвольного вектора скорости. В силу симметрии переменных

этот закон будет справедлив и для произвольного значения вектора скорости, раз он справедлив для малого значения скорости. Докажем это.
Связь между индукцией и напряженностью линейная, что следует из вычисленной зависимости от произвольной имеющей одну не нулевую компоненту скорости зависимости между индукцией и напряженностью. Так как при малой скорости получаем такую же связь между индукцией и напряженностью с точностью до коэффициентов линейной зависимости, значит остается определить эти коэффициенты, что и делается с помощью одной компоненты скорости. При этом надо обобщить квадрат скорости в знаменателе на модуль скорости и обобщить векторное произведение.
Я постараюсь более четко вывести это соотношение, манипулируя векторами, но при первой прикидке получаются такие соотношения.

Я не настаиваю на этих соотношениях, но приведу логику их получения. Как у ЛЛ получается соотношение в диэлектрической среде. Берется точный вектор для электромагнитного поля

в вакууме и усредняется, получаются два вектора

. Один соответствует вакууму, другой среде. В случае, если среда является большой, например атмосфера земли, свойства вакуума заменяются на свойство среды и точные значения поля в теле, помещенном в среду

берутся в среде. Усредняя это соотношение для большого пространства, для средних величин получим искомое соотношение. В случае, если среда - конечное среднее тело, такое невозможно, но в случае большой среды это приближение возможно. Справедливы два предельных случая, если тело больших размеров, то это среда, а если малых, то это тело. Каков критерий, среда или тело я пока сказать не могу, так как не решена задача дифракции. Но предварительно имеется формула для фазовой скорости для бесконечной среды, соответствующей равенству нулю знаменателю и формула для фазовой скорости для меньшей скорости тела. поэтому критерий является ли тело средой следующий

, R характерный размер среды ,k волновое число,a размер тела, если тела в среде нет, то имеем R=a.