Определитель

[angor6]

Nemiroff

Nemiroff в сообщении #781580 писал(а):

angor6 в сообщении #781558 писал(а):

Пусть $|A|=0$. Если $|B|\ne 0$, то, как показано выше, $B=E$. Тогда $AB=AE=A$, $BA=EA=A$, то есть условие $AB=BA$ выполняется. При этом $(A-B)(A+B)=A^2-B^2=A-B$, $(A-B)(A+B)=A-B$, $(A-B)^{-1}(A-B)(A+B)=(A-B)^{-1}(A-B)$, $A+B=E$.

Не пойдет. Почему существует $(A-B)^{-1}$?

Я же писал, что $A\ne B$ - мы рассматриваем этот случай. Случай $A=B$ я рассмотрел в пункте 1 отредактированного проекта решения.

[Nemiroff]

А причем тут $A=B$?
Когда у матрицы существует обратная?

[angor6]

provincialka

provincialka в сообщении #781569 писал(а):

angor6 в сообщении #781558 писал(а):

Разумеется. Я ведь уже писал раньше, что меня не интересуют чужие решения, как это ни плохо...

Я уважаю Ваши интересы, потому и спрятала в оффтоп. Но все-таки, маленькую подсказку ведь можно учесть? Какие мысли у вас появились, когда я так настойчиво играла роль то ли Германна, то ли княгини? (три карты, три карты, три корня).

У меня тоже вроде бы просматриваются три решения. Возможно, те же, что и у Вас.

По правде говоря, я думаю запустить подсознание и лечь отдохнуть - завтра на работу. Не исключено, что всё проще, чем я думаю. Достаточно рассмотреть систему трёх уравнений, указанных в условии задачи. Тогда возможны четыре случая, как следствие первых двух уравнений:
1) $A=0,~B=0$;
2) $A=E,~B=0$;
3) $A=0,~B=E$;
1) $A=E,~B=E$.
Все эти случаи удовлетворяют третьему уравнению. Отсюда и получается уже указанное мной множество решений задачи.

А может быть, подскажете, продуктивен ли путь с отдельным рассмотрением вырожденных ненулевых и неравных друг другу матриц?

-- 28.10.2013, 23:27 --

Nemiroff

Nemiroff в сообщении #781586 писал(а):

А причем тут $A=B$?
Когда у матрицы существует обратная?

Когда её определитель не равен нулю. В том числе и когда она ненулевая.

[Nemiroff]

angor6 в сообщении #781587 писал(а):

Когда её определитель не равен нулю.

Вот я и спрашиваю, почему у $A-B$ определитель не равен нулю?

angor6 в сообщении #781587 писал(а):

Тогда возможны четыре случая, как следствие первых двух уравнений:

И это неверно

[angor6]

Nemiroff в сообщении #781588 писал(а):

angor6 в сообщении #781587 писал(а):

Когда её определитель не равен нулю.

Вот я и спрашиваю, почему у $A-B$ определитель не равен нулю?

angor6 в сообщении #781587 писал(а):

Тогда возможны четыре случая, как следствие первых двух уравнений:

И это неверно

Мне сложно отвечать на вопросы со стороны многих оппонентов, уровень познаний которых превышает мой. Поэтому, может быть, лучше хоть давать замечания не залпом, а поодиночке? Сейчас подумаю, почему я решил, что $|A-B|\ne 0$.

[Nemiroff]

Ну, последние 7 сообщений в теме — наши с вами. Так что на данный момент я, видимо, один.
Я никуда вас не тороплю — думайте столько, сколько требуется.

[angor6]

Nemiroff

Nemiroff в сообщении #781592 писал(а):

Ну, последние 7 сообщений в теме — наши с вами. Так что на данный момент я, видимо, один.
Я никуда вас не тороплю — думайте столько, сколько требуется.

Я позволю себе оставить в стороне Ваш вопрос, почему $|A-B|\ne 0$. Вразумительного ответа на него нет. Налицо логическая ошибка, а быстрого пути к её исправлению я тоже не вижу...

А разве следствием равенств $A^2=A,~B^2=B$ не являются такие:
$A^2-A=0,~A(A-E)=0$, откуда либо $A=0$, либо $A=E$;
$B^2-B=0,~B(B-E)=0$, откуда либо $B=0$, либо $B=E$.
При этом третье равенство $AB=BA$ удовлетворяется для всех четырёх возможных случаев, следующих из первых двух равенств. Эти случаи я и указал раньше.

Вы имеете в виду, что и здесь я допустил логическую ошибку?

[Nemiroff]

angor6 в сообщении #781594 писал(а):

А разве следствием равенств $A^2=A,~B^2=B$ не являются такие:
$A^2-A=0,~A(A-E)=0$,

Являются.

angor6 в сообщении #781594 писал(а):

откуда либо $A=0$, либо $A=E$;

А вот это неверно. Это ведь не числа.

[Cash]

angor6 в сообщении #781594 писал(а):

Я позволю себе оставить в стороне Ваш вопрос, почему $|A-B|\ne 0$. Вразумительного ответа на него нет. Налицо логическая ошибка, а быстрого пути к её исправлению я тоже не вижу...

angor6, я Вам помогу. Мы ищем возможные значения $|A-B|$. А нолик мы уже нашли.

[angor6]

Nemiroff
Как я понимаю, моя ошибка в том, что если $A^2-A=0$, то помимо $A=E$ и $A=0$, нулевой матрицей может оказаться и произведение ненулевых матриц. Действительно... "Утешает" то, что хоть $\lbrace -1,~0,~1 \rbrace $ - решение задачи, возможно, неполное.

-- 29.10.2013, 06:05 --

Cash

Cash в сообщении #781624 писал(а):

angor6 в сообщении #781594 писал(а):

Я позволю себе оставить в стороне Ваш вопрос, почему $|A-B|\ne 0$. Вразумительного ответа на него нет. Налицо логическая ошибка, а быстрого пути к её исправлению я тоже не вижу...

angor6, я Вам помогу. Мы ищем возможные значения $|A-B|$. А нолик мы уже нашли.

Если даже считать, что $|A-B|=|A-E|$ и $|A|=0$, то я затрудняюсь ответить на Ваш вопрос. По-моему, этот определитель может принимать какие угодно значения... Или я не понимаю этого вопроса, или не знаю толком теорию определителей, а может, и то, и другое вместе. Правда, всей главы я ещё не прочитал...

Похоже, я выдохся и нужно ждать второго дыхания. Если оно откроется, то, возможно, я смогу решить задачу. Если нет - то, видно, не судьба... Пока беру тайм-аут.

[provincialka]

Да не надо здесь никаких знаний! Cash ведь вам все уже сказал!
Надо просто рассмотреть 2 случая:
1. $|A-B|=0$ - это один из возможных ответов на задачу.
2. $|A - B|\ne 0$, тогда матрица $A-B$ невырождена.

[angor6]

provincialka
У меня ведь спрашивают, почему я решил, что матрица $A-B$ невырождена, если матрица $A$ вырождена. Я этого не знаю...

[Cash]

angor6 в сообщении #781753 писал(а):

У меня ведь спрашивают, почему я решил, что матрица $A-B$ невырождена, если матрица $A$ вырождена. Я этого не знаю...

И не узнаете, потому что из $|A|=0$ не следует $|A-B| \ne 0$.
Но у нас случай полегче. Мы изначально считаем $|A-B| \ne 0$
Поскольку нам требуется найти возможные значения $|A-B|$.
1) $|A-B|=0$. Да, такой случай возможен, например, $A = B = E$
2) $|A-B|\ne 0$
И везде далее мы считаем это верным.

[angor6]

Cash
Если $|A-B|\ne 0$, то существует $(A-B)^{-1}$, и $A+B=E$. Если при этом $B=E$, то $A=0$ и $|A-B|=|-E|=\pm 1$.

[nnosipov]

angor6 в сообщении #781779 писал(а):

Если $|A-B|\ne 0$, то существует $(A-B)^{-1}$, и $A+B=E$.

Вот это правильно (а я вот, например, этого умудрился не заметить и далее шёл к цели таким кружным путём, что стыдно признаться). Теперь Вам совсем чуть-чуть осталось.