Об одной гипотезе для простых чисел

[Руст]

vicvolf в сообщении #779978 писал(а):

Я считаю более сильной гипотезой ту, из которой следует более слабая. Из гипотезы Cash о близнецах между квадратами соседних натуральных чисел не следуют мои гипотезы о близнецах между квадратами последовательных простых чисел.

Не раз убедился, что вы не способны даже на простые логические выводы.

[vicvolf]

Бывают заскоки! Понял!

[Cash]

vicvolf в сообщении #779978 писал(а):

Разумность гипотезы определяется с точки зрения возможности ее доказательства. Пока доказано только неравенство Бруна.

Полная ерунда. Разумность гипотезы определяется по соответствию истине, по множеству тех косвенных фактов, указывающих на то, что гипотеза верна. Сейчас, например, у меня нет никаких вопросов к разумности, скажем, гипотезы Гольдбаха или гипотезы о нулях дзета-функции Римана. Пусть их никто так и не докажет. Да и вообще, с Вашей точки зрения любые открытые проблемы - неразумны.

[vicvolf]

Cash в сообщении #780039 писал(а):

vicvolf в сообщении #779978 писал(а):

Разумность гипотезы определяется с точки зрения возможности ее доказательства. Пока доказано только неравенство Бруна.

Полная ерунда. Разумность гипотезы определяется по соответствию истине, по множеству тех косвенных фактов, указывающих на то, что гипотеза верна. Сейчас, например, у меня нет никаких вопросов к разумности, скажем, гипотезы Гольдбаха или гипотезы о нулях дзета-функции Римана. Пусть их никто так и не докажет.

С Вашей точки зрения все рассмотренные выше гипотезы мои, Ваша, Руста разумные, т.е справедливые. Но какую из них выбрать с точки зрения простоты доказательства? Я не думаю, что разумно идти к доказательству бесконечности близнецов, например, через доказательство гипотезы Крамера.

[Руст]

Трудность доказательства не имеет никакого значения для оценки разумности выдвигаемой гипотезы.
Тем более, что при выдвижении гипотезы мы не можем гадать, насколько сложно ее доказательство.
В математике, часто бывает, что доказательство более общего (сильного) утверждения доказывается
проще первоначально доказанного или выдвинутого в виде гипотезы более слабого утверждения.
Таких примеров много. К примеру до доказательство теоремы Рота о приближении иррационального корня $\alpha$
неприводимого многочлена $n-$ ой
степени, предполагалось, что будеть проще доказать, что имеется только конечное число рациональных приближений
$|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{Q^{1+\sqrt n}}$.
Примерно то же с $abc$ гипотезой (более сильной) чем гипотеза (забыл автора) о конечности взаимно простых решений уравнения
$x^k+y^m=z^n, \frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<1$.

Разумность гипотезы зависит и от автора. Как правило сильные математики выдвигают более разумные гипотезы, видя связи этой гипотезы с другими разделами математики.
Но даже сильные математики иногда выдвигают не разумные гипотезы. У Ферма две такие неверные гипотезы, одна из которых легко проверялось (простота $2^{2^5}+1$. Не разумной оказалось гипотеза Харди $\pi(x+y)<\pi(x)+\pi(y)$ (она противоречит гипотезе Шинцеля), когда одна из чисел $x>e^y$ могут найтись контпримеры. У Арнольда не счесть количество не разумных гипотез по теории чисел, которые или просто опровергаются или легко доказываются.

[vicvolf]

Доказательство гипотезы:
На интервале $p^2,(p+2)^2$, где p-простое число, имеется хотя бы одна пара простых близнецов.

На основании темы - topic75486.html вероятность большого натурального числа х быть простым равна плотности последовательности простых чисел f(n) на интервале [x,x+y) ($x\gg y$):
$P(f,x,x+y)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.(1)
Обозначим вероятность события $A_1$, что большое натуральное число х является простым $Pr(A_1)$, тогда можно записать:
$Pr(A_1)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.(2)
Обозначим вероятность события $A_2$, что большое натуральное число х+2 является простым $Pr(A_2)$, тогда можно записать:
$Pr(A_2)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$,(2) так как $x \gg 2$.
На основании (2), (3) вероятность события, что большие натуральные числа х и х+2 являются простыми (х,х+2-простые близнецы):
$Pr(A_1 \cdot A_2)=Pr(A_1) \cdot Pr(A_2/A_1)>Pr(A_1)Pr(A_2)=1/\ln^2(x)+o(1/\ln^2(x))$,(4) так как $Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2)$ потому, что знание, что число х является простым увеличивает вероятность большого числа х+2 быть простым.
Таким образом, для плотности последовательности простых близнецов g(n) на интервале [x,x+y) ($x\gg y$) справедливо неравенство:
$P(g,x,x+y)>1/\ln^2(x)$,(5)
а для количества простых близнецов на интервале [x,x+y) ($x\gg y$) справедливо соотношение:
$\pi(g,x,x+y)>y/\ln^2(x)$.(6)
В случае, если $x=p^2, y=(p+2)^2-p^2=4(p+1)$, где р - простое число, на основании (6) получаем:
$\pi(g.x.x+y)>4(p+1)/\ln^2(p^2)=p+1/\ln^2(p)>2$. (7) ч.т.д.
Неравенство (7) справедливо уже для небольших р, тем более для больших.

[vicvolf]

Гипотеза - на интервале $p^2,(p+2)^2$, где p-простое число, имеется хотя бы одна пара простых близнецов доказана в предыдущем сообщении для больших р. В этом случае следствие 2 немного видоизменяется.

Следствие 2-1
В случае, если гипотеза - на интервале $p^2,(p+2)^2$, где p-простое число, имеется хотя бы одна пара простых близнецов - выполняется с некоторого большого р, то количество простых близнецов бесконечно.

Доказательство
Так как количество простых чисел, начиная с любого наперед заданного простого числа р, бесконечно, то количество интервалов $p^2,(p+2)^2$ бесконечно. Так как на основании указанной выше гипотезы на каждом таком интервале находится хотя бы один простой близнец, то количество простых близнецов бесконечно.

Хотелось бы услышать мнение участников форума по доказательству данной гипотезы.

[Руст]

vicvolf в сообщении #781255 писал(а):

Хотелось бы услышать мнение участников форума по доказательству данной гипотезы.

Бред.

[master]

недавно нашел игрушку
1+3+5+7
3+5+7+9
5+7+9+11
...
если выкидывать одно из центральных слагаемых то либо пара простых либо одно, правда далеко не проверял, может где сбойнет.

[vicvolf]

Руст! Я уже понял - все, что выходит за рамки Вашего подхода через равномерность простых является бредом Вероятностный подход к простым числам Вами отрицается полностью. Вы уже делали выводы, которые противоречат гипотезе Харди-Литлвуда.

vicvolf писал(а):

Руст в сообщении #733888 писал(а):

Кстати согласно оценке Бруна
(1) $Pr(A_2/A_1)<Pr(A_2)$ в протиположность vicvolf.
Причем это не только согласно этой гипотезе. Оценка сверху для близнецов доказанный факт, а не гипотеза.
Т.е. (1) является доказанным утверждением.

То что Вы написали означает, что является доказанным фактом, что гипотеза Харди-Литлвуда не верна, так как по этой гипотезе $Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2)$.
Ссылка на оценку Бруна здесь не уместна, так как оценка Бруна не противоречит гипотезе Харди-Литлвуда.

Как я понял - Ваше замечание остается тоже?
Не понимаю Ваше желание найти противоречие между оценкой Бруна и гипотезой Харди-Литлвуда?
Так вот - оценка, сделанная мною в данной гипотезе не противоречит ни оценке Бруна, ни гипотезе Харди-Литлвуда.
Я уважаю Вас, как математика, и уважаю Ваше мнение, поэтому, пожалуйста, в дальнейшем, давайте замечания в более конструктивной и уважительной форме, чтобы можно было на них отвечать!

[Руст]

Любое натуральное число, например 10, не может быть иногда простым, а иногда нет.
С вероятностной точки зрения вероятность числа n быть простым равно 1 или 0, а не $\frac{1}{ln n}$.
Поэтому можно говорить только о частоте появления простых в интервале $[x-a.x+a]$ (в окрестности х) и ввести частотную характеристику для данного интервала
$f(x,a)=\frac{\pi(x+a)-\pi(x-a)}{2a}$. Это частота сильно зависит от ширины интервала $2a$. Только когда ширина величина порядка $x$ доказано, что
$f(x,a)-\frac{1}{\ln x}(1+o(1)).$
Читайте любой учебник (например Прахара), чтобы убедится, что при доказательстве этого факта ваши размышления об этом через ПСВ не работают.
Дело в том, что исключая некоторые вычеты до некоторого простого $p_n$ вы находите частоту появления чисел такого рода в интервалах очень большой длины $p_n\#$. Это частота не переносится (нет равномерности распределения таких чисел) на интервал $(p_n, p_{n+1}^2).$
Всем известно, что частота простых не совпадает с частотой не исключенных в таком большом интервале. Само наличие частоты простых доказывается не прибегая к вашим детским частотам не исключенных, которые могут играть роль частоты только в очень больших интервалах.
То же самое относится к случаю исключения по два или несколько вычетов по каждому простому выше некоторого. При этом независимости тоже нет.
Даже частотная характеристика при исключении по два вычета не является квадратом частоты, полученной при исключении по одному вычету (это как раз говорит о зависимости двух событий x-простое, x+2 - простое).
Возникает коэффициент. Но при малых интервалах порядка $(p_n,p_{n+1}^2)$ эта частота так же не работает, а какой коэффициент появляется, а может и не появляется паока одному богу известно. Пока не удалось оценить снизу количество близнецов в таких интервалах. Для оценки ПСВ здесь не работают, так же как они не работали для подсчета числа простых.
Поэтому ваши утверждения "я выше ... доказал" не заслуживают другой оценки, кроме указанного выше - бред.

[venco]

vicvolf в сообщении #780721 писал(а):

так как $Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2)$

Откуда вы это взяли? Вроде бы на самом деле наоборот.

[vicvolf]

Руст в сообщении #781316 писал(а):

Читайте любой учебник (например Прахара), чтобы убедится, что при доказательстве этого факта ваши размышления об этом через ПСВ не работают.
Дело в том, что исключая некоторые вычеты до некоторого простого $p_n$ вы находите частоту появления чисел такого рода в интервалах очень большой длины $p_n\#$. Это частота не переносится (нет равномерности распределения таких чисел) на интервал $(p_n, p_{n+1}^2).$
Всем известно, что частота простых не совпадает с частотой не исключенных в таком большом интервале. Само наличие частоты простых доказывается не прибегая к вашим детским частотам не исключенных, которые могут играть роль частоты только в очень больших интервалах.
То же самое относится к случаю исключения по два или несколько вычетов по каждому простому выше некоторого. При этом независимости тоже нет.
Даже частотная характеристика при исключении по два вычета не является квадратом частоты, полученной при исключении по одному вычету (это как раз говорит о зависимости двух событий x-простое, x+2 - простое).
Возникает коэффициент. Но при малых интервалах порядка $(p_n,p_{n+1}^2)$ эта частота так же не работает, а какой коэффициент появляется, а может и не появляется паока одному богу известно. Пока не удалось оценить снизу количество близнецов в таких интервалах. Для оценки ПСВ здесь не работают, так же как они не работали для подсчета числа простых.

Вы критикуете тему, даже не читая ее. Я уже писал в этой теме, что данный подход не проходит.

vicvolf в сообщении #779117 писал(а):

Одна из идей доказательства гипотез - через среднюю плотность близнецов в приведенной системе вычетов (ПСВ) по модулю $M=2 \cdot 3 \cdot...\cdot p_i$. В этом случае средняя плотность близнецов на ПСВ по модулю М умножается на длину интервала.
В случае строгой гипотезы длина интервала равна $((p_i+2)^2-(p_i)^2)=4(p_i+1)$. При малых значениях М получается результат больше реального. Например, при М=2310 количество близнецов на интервале от 121 до 169 равно 2,805 при фактическом числе -2. При больших значениях $M=2,0056049 \cdot 10^{11}$ количество близнецов на интервале от 961 до 1089 равно 0,7948 при фактическом числе -2.
Это связано с неравномерным распределением близнецов при больших М. В начале М ( в том числе на интервале от 961 до 1089) близнецы расположены ближе, а затем расстояние между ними увеличивается. Поэтому средняя плотность близнецов становится значительно меньше, чем на интервале от 961 до 1089 и данный метод использовать нельзя.
Отрицательный результат тоже результат, так как говорит, что не надо тратить время на данный путь доказательства!

Поэтому при доказательстве данной гипотезы никакие ПСВ не используются, а используется совсем другой подход.

Руст в сообщении #781316 писал(а):

Любое натуральное число, например 10, не может быть иногда простым, а иногда нет.
С вероятностной точки зрения вероятность числа n быть простым равно 1 или 0, а не $\frac{1}{ln n}$.

Когда я говорю о вероятности большого натурального числа х быть простым, то я имею в виду вероятность большого натурального числа порядка х быть простым, т.е. например, числа порядка $10^8$ быть простым. Кроме того, нам неизвестно являются ли простыми очень большие числа. Именно в этом смысле надо понимать вероятность большого натурального числа быть простым. Также понимают Дон Цагир и другие.

[Руст]

vicvolf в сообщении #781337 писал(а):

Поэтому при доказательстве данной гипотезы никакие ПСВ не используются, а используется совсем другой подход.

Тогда исключите из вашего изложения употребления всех слов типа ПСВ и вероятность.
Посмотрим, что останется. Если что -то вразумительное останется, покритикуем.
Пока вижу, что вы ничего не поняли суть моей критики.

Цитата:

Также понимают Дон Цагир и другие.

Но они не путают эвристические соображения, основанные на этом, с доказательством.

[vicvolf]

venco в сообщении #781325 писал(а):

vicvolf в сообщении #780721 писал(а):

так как $Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2)$

Откуда вы это взяли? Вроде бы на самом деле наоборот.

Основной предпосылкой гипотезы Харди-Литвуда является то, что вероятность большого натурального числа порядка х (в дальнейшем слово порядка подразумевается) быть простым равна:
$Pr(A_1)=1/\ln(x)$.(1)
Поэтому вероятность большого натурального числа х+2 быть простым также равна:
$Pr(A_2)=1/\ln(x)$ ($x \gg 2$).(2)
Тогда в вероятностной форме гипотезу Харди-Литлвуда для простых близнецов можно записать в виде:
$Pr(A_1 \cdot A_2)=C/\ln^2(x)$, (3) где С=1,32...
На основании (1), (2), (3): $Pr(A_2/A_1)=Pr(A_1 \cdot A_2)/Pr(A_1)=1,32/\ln(x)>1/\ln(x)=Pr(A_2)$.

-- 29.10.2013, 11:07 --

Руст в сообщении #781362 писал(а):

Тогда исключите из вашего изложения употребления всех слов типа ПСВ и вероятность.
Посмотрим, что останется. Если что -то вразумительное останется, покритикуем.

Использование понятия вероятность в доказательстве гипотезы вполне обоснованно, так как плотность целочисленной строго возрастающей последовательности. которой является последовательность простых чисел, на ограниченном интервале натурального ряда является значением конечной вероятностной меры. Если Вы все таки прочитаете доказательство гипотезы, перед тем, как ее критиковать , то убедитесь, что приведенная система вычетов (ПСВ) в ее доказательстве не используется.

-- 29.10.2013, 11:37 --

Руст в сообщении #781316 писал(а):

Поэтому можно говорить только о частоте появления простых в интервале $[x-a.x+a]$ (в окрестности х) и ввести частотную характеристику для данного интервала
$f(x,a)=\frac{\pi(x+a)-\pi(x-a)}{2a}$. Это частота сильно зависит от ширины интервала $2a$. Только когда ширина величина порядка $x$ доказано, что
$f(x,a)-\frac{1}{\ln x}(1+o(1)).$

Это интересно! Можно ссылку?
Я исследовал другой случай, который меня интересовал: большие х и небольшое а, т.е. $x \gg a$.
Использовал реальные данные по количеству простых чисел на интервале от 2 до х для больших х от $10^8$ до $10^{15}$ при a=150000, взятые из Таблицы 6 - http://ega-math.narod.ru/Liv/Zagier.htm.
Точность оценки количеста простых на интервале от х до х+а по формуле $a/\ln(x)$ оказалась достаточно высока.