Определитель

[Sonic86]

angor6 в сообщении #781042 писал(а):

Если не иметь в виду нулевую матрицу, то тогда $|A|=1,$ а поскольку $A=A^2,$ то $A=E.$

Там же всего лишь $B=E-A, A^2=A$, все остальные соотношения вытекают из этих двух, а им удовлетворяет довольно много матриц.

[Cash]

AV_77 в сообщении #781044 писал(а):

Из того, что $A = A^2$ и $|A| = 1$ совсем не следует, что $A = E$.

Я возможно спрошу глупость, но почему не следует?
Разве из $|A| = 1$ не следует обратимость $A$? Домножаем обе части слева или справа на $A^{-1}$ и получаем $A=E$.
Другое дело, что $|A| = 1$ совсем не обязательно...

[angor6]

Cash
По-моему, действительно, из $|A|=1$ не следует, что $A=E.$ Но из $A=E$ следует, что $|A|=1.$

В данном случае $|A|=1$ следует из того, что $A=A^2,$ и теоремы об определителе произведения квадратных матриц. Разве нет?

[ewert]

angor6 в сообщении #781070 писал(а):

В данном случае $|A|=1$ следует из того, что $A=A^2,$ и теоремы об определителе произведения

Не следует, естественно. Но ещё важнее другое: при чём тут вообще $|A|$ ?...

[angor6]

ewert
Я полагал, что решение задачи о нахождении определителя можно свести к действиям над определителями. Как понял, заблуждался.

В принципе, мне было важно для себя хотя бы очертить минимальное множество решений задачи. А чтобы решить задачу в полном объёме - на это пока не хватает знаний и умений...

[ewert]

angor6 в сообщении #781078 писал(а):

А чтобы решить задачу в полном объёме - на это пока не хватает знаний и умений...

Да она давно уже решена. Просто соберите по кусочкам.

[angor6]

ewert в сообщении #781074 писал(а):

angor6 в сообщении #781070 писал(а):

В данном случае $|A|=1$ следует из того, что $A=A^2,$ и теоремы об определителе произведения

Не следует, естественно. Но ещё важнее другое: при чём тут вообще $|A|$ ?...

Получается, из $A=A^2$ не следует $|A^2|=|A|^2=|A|=1$?...

-- 27.10.2013, 21:29 --

ewert в сообщении #781079 писал(а):

angor6 в сообщении #781078 писал(а):

А чтобы решить задачу в полном объёме - на это пока не хватает знаний и умений...

Да она давно уже решена. Просто соберите по кусочкам.

Для меня если задача решена не мной - она не решена.

[ewert]

angor6 в сообщении #781080 писал(а):

Получается, из $A=A^2$ не следует $|A^2|=|A|^2=|A|=1$?...

Нет, разумеется. Угадайте ещё один вариант.

[angor6]

ewert

ewert в сообщении #781088 писал(а):

angor6 в сообщении #781080 писал(а):

Получается, из $A=A^2$ не следует $|A^2|=|A|^2=|A|=1$?...

Нет, разумеется. Угадайте ещё один вариант.

Есть ещё $|A|=0...$ Больше ничего угадать не могу. Может быть, во время сна подсознание будет работать и угадаю правильно.

[ewert]

angor6 в сообщении #781089 писал(а):

Есть ещё $|A|=0...$ Больше ничего угадать не могу.

А большего и не надо, этого уже достаточно. Не говоря уж о том, что $|A|$ не имеет ни малейшего отношения к делу.

[provincialka]

Нет, здесь не надо жордановой формы. Мы давали эту задачу на студенческой олимпиаде под номером 2 (то есть среди простых).

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #781100 писал(а):

(то есть среди простых).

Я не уверен, что она так уж совсем простая. Как минимум в алгебре надо какое-то время поковыряться. Да вот даже и тут: как минимум два вполне уважаемых участника -- сколько ковырялись?... А это ведь уже статистика, между кстати.

[provincialka]

Да, это все условно. Я только имею в виду, что для решения не надо знаний, бОльших, чем определитель матрицы.

[provincialka]

Подсказкой служит то, что задача имеет 3 решения (по крайней мере).

[nnosipov]

ewert в сообщении #781102 писал(а):

(Оффтоп)

Я не уверен, что она так уж совсем простая. Как минимум в алгебре надо какое-то время поковыряться. Да вот даже и тут: как минимум два вполне уважаемых участника -- сколько ковырялись?... А это ведь уже статистика, между кстати.

(Оффтоп)

Проверил на себе: ковырялся минут 15, пока не понял в чём фокус. К разряду простых эту задачу я бы не относил.