Составить уравнение окружности по трём точкам.

[Leroy999]

Задача оч простая, но я туплю.

Составить уравнение окружности, проходящей через три точки $M_1(3, -1, 2), M_2(1, 1, -2), M_3(-1, 3, 0). $

Я составил систему из трёх уравнений:

$(x-3)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=R^2$
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=R^2$
$(x+1)^2+(y-3)^2=R^2$

Упростил три уравнения и приравнял первое уравнение к третьему и второе уравнение к третьему.

$x^2+y^2+z^2-6x+2y+4z+11=x^2+y^2+2x-6y+10$
$x^2+y^2+z^2-2x-2y+4z+6=x^2+y^2+2x-6y+10$

Получил:

$z^2-8x+8y+4z+1=0$
$z^2-4x+4y+4z-4=0$

Дальше не пойму, что делать.

[arseniiv]

del

[Sonic86]

3-е уравнение составлено неправильно.
Интересно, как тут проще? Перейти в плоскость точек?

upd: Можно выписать условие компланарности 4-х точек.

Leroy999 в сообщении #780992 писал(а):

Получил:

$z^2-8x+8y+4z+1=0$
$z^2-4x+4y+4z-4=0$

Дальше не пойму, что делать.

Когда 3-е уравнение исправите, то получите в результате СЛУ, которая задает какое множество точек?

[ewert]

Не "перейти в", а пересечь эту плоскость с полученной прямой (уравнения которой и получатся, если их исправить).

Не помню, как проще, но как-то можно.

[arseniiv]

Исходные уравнения не совсем ясно что означают: три сферы с центрами в $M_1,M_2,M_3$ одинакового радиуса пересекаются… и? Каким боком там окружность через эти точки?

[Sonic86]

arseniiv в сообщении #781007 писал(а):

Исходные уравнения не совсем ясно что означают: три сферы с центрами в $M_1,M_2,M_3$ одинакового радиуса пересекаются… и? Каким боком там окружность?

У ТС, видимо, $(x,y,z)$ - это центр искомой окружности. Но он кое-что забыл

[ewert]

Геометрическое место точек, равноудалённых от трёх заданных -- это некоторая прямая. Уравнения которой автоматически и получатся, если приравнять эти расстояния друг к другу.

[Leroy999]

множество равноудаленных точек от центра на величину радиуса?
пересчитывал, не нахожу ошибку.
Ну задание я полностью написал.

[ewert]

Leroy999 в сообщении #781010 писал(а):

множество равноудаленных точек от центра на величину радиуса?

Нет, просто равноудалённых. Радиус пока не нужен совсем. Он мгновенно получится потом, когда найдёте центр окружности.

-- Вс окт 27, 2013 20:16:57 --

Leroy999 в сообщении #781010 писал(а):

пересчитывал, не нахожу ошибку.

Квадраты же не могут не сократиться после исключения радиуса. В принципе не могут.

Вы там просто одно слагаемое зевнули в исходных уравнениях.

[Leroy999]

Я правильно понял -
должно быть не так
$(x-3)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=R^2$
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=R^2$
$(x+1)^2+(y-3)^2=R^2$

а так

$(x-3)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=R^2$
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=R^2$
$(x+1)^2+(y-3)^2+z^2=R^2$

Тогда в конце я получу такую систему, приравняв первое уравнение к третьему и второе уравнение к третьему.

$2x-2y-z=1$
$x-y-z=1$

[gris]

Одной алгеброй так решение не получить.
В двух получившихся линейных уравнениях плоскостей надо исключить две переменные (по-моему, тут можно любые, кроме $z$), подставить их в любое квадратичное уравнение, а потом найти минимум $R$ как квадратичной функции от одной переменной. Там только продифференцировать.

[Leroy999]

Всё я окончательно запутался)
Я приравнял первое уравнение ко второму, первое к третьему, второе к третьему. Упростил.
Получил:

$x-y=2$
$x-y-z=1$
$2x-2y-z=1$

Выражая из третьего уравнения z и подставляя его во второе уравнение, получаю что x=y. Дальше ничего сделать не могу.

Посмотрел в ответы. Ответ в виде системы с двумя уравнениями.

$(x-2)^2+y^2+(y-3)^2=27$
$x+y-2=0$

По такой схеме не решается?
http://5terka.com/node/9097

[VAL]

Я бы сначала нашел центр искомой окружности, сразу же (а не в процессе) решая систему линейных уравнений.
Одно уравнение - уравнение плоскости, содержащей данные точки.
Два других уравнения срединных перпендикулярных плоскостей, скажем, к $M_1M_2$ и $M_1M_3$.

А ответ записал бы как пересечение плоскости и сферы.

[gris]

Если Вы квадратичные уравнения обработали правильно А вот неправильно. Второе неверно то из линейных получаем $y=x-2;z=3$
Подставляем хоть в первое: $(x-3)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=R^2$. Получим

$(x-3)^2+(x-2+1)^2+(3+2)^2=R^2$

$x^2-6x+9+x^2-2x+1+9=R^2$

$2x^2-8x+19=R^2$ Вот теперь правильно.

Минимум квадратного трёхчлена ясно где. Центр нашли. И радиус.

А, там же нужно и уравнение составить. Ну так запихать центр и радиус в линейное и написать уравнение сферы.
Только судя по ответу Вы линейные уравнения неправильно составили. Не подходит к ним решение для центра $(2,0,3)$. Так что повнимательнее.

[nikvic]

Для начала автору нужно определиться с видом "уравнения окружности" в 3-х мерном случае. Штука-то явно искусственная - обычно пространственную кривую задают как пересечение двух поверхностей.