От алгебры к сигма алгебре

[devgen]

Цитата:

Пусть $\mathfrak{E}$ -- некоторая система подмножеств $\Omega$ . Обозначим $\hat{\mathfrak{E}}$ систему подмножеств $\Omega$, состоящую из множеств, входящих в $\mathfrak{E}$, дополнений к ним и конечных или счетных объединений множеств из $\hat{\mathfrak{E}}$. Положим $\mathfrak{A_0}=\mathfrak{A}, \mathfrak{A_1}=\hat{\mathfrak{A_0}}, \mathfrak{A_2}=\hat{\mathfrak{A_1}},...$.

Под $\mathfrak{A}$ понимается некоторая алгебра.

Здесь возникает первый вопрос -- зачем в операцию "крышечка" включают кроме счетных объединений операции дополнения и конечных объединений, если мы и так рассматриваем алгебру? Второй, я не очень понимаю, процедуру расширений. За один раз какие (и сколько) операции я могу сделать за итерацию? Потому что я не очень понимаю, после первого раза как еще я смогу расширять? В основном эти вопросы связаны с не понимаем следующего далее примера (разговор в общем идет о том что такая процедура и объединение полученных А-энных не даст сигму алгебру).

Цитата:

Возьмём, ${\Omega} = (0;1] и в качестве алгебры рассмотрим систему подмножеств ${\Omega}$, порожденную пустым множеством и конечными интервалами вида $(a;b]$ с рациональными концами. Не трудно убедиться, что система множеств $\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathfrak{А_n}}$ строго меньше сигма-алгебры.

Я не понимаю, чего не хватает. Мысли такие:
1. Сначала я подумал, что игра видимо должна строиться на том, что концы интервалов рациональные, а в соответствующей сигма-алгебре, очевидно, лежат и иррациональные точки как самостоятельные элементы и отрезки с такими концами. Но всё это легко получить после операции "крышечка", например, чтобы получить любое иррациональное число, я просто устраиваю систему стягивающихся отрезков с концами из последовательности десятичных приближений с недобором и перебором, и тут всё ок.

2. Тогда я подумал, что может быть, проблема в том, что я из счетного числа элементов алгебры хочу получит несчетное? В сигма-алгбере буду лежать все иррациональные числа как отдельные элементы, значит там, не меньше чем континуум элементов. Тут я решил, что противоречие как раз в том, что мне придется несчетное число раз построить свою систему стягивающихся отрезков -- чтобы получить каждое иррациональное число как элемент. Но я не очень понимаю процедуру итераций "крышечки", поэтому не знаю чего там сколько раз мне можно делать.

Большое спасибо.

[devgen]

Все молчат, потому что я совсем дичь написал?

[Otta]

(Оффтоп)

devgen в сообщении #780816 писал(а):

Все молчат, потому что я совсем дичь написал?

Воскресенье, думать неохото.

devgen в сообщении #780577 писал(а):

Второй, я не очень понимаю, процедуру расширений. За один раз какие (и сколько) операции я могу сделать за итерацию? Потому что я не очень понимаю, после первого раза как еще я смогу расширять?

Каждый раз у Вас получаются новые элементы, за счет добавления счетных объединений существующих. Вообще говоря, на следующем шаге число элементов увеличивается (не уменьшается). Причем сохраняется оно, по-видимому, только в том случае, когда Вы в какой-то момент получили сигма-алгебру. (А это вряд ли, если исходная алгебра таковой не была).

-- 27.10.2013, 16:13 --

devgen в сообщении #780577 писал(а):

Обозначим $\hat{\mathfrak{E}}$ систему подмножеств $\Omega$, состоящую из множеств, входящих в $\mathfrak{E}$, дополнений к ним и конечных или счетных объединений множеств из $\hat{\mathfrak{E}}$.

Мне кажется, опечатка тут, иначе нелогично как-то для определения. Имхо, должно быть "и конечных или счетных объединений множеств из ${\mathfrak{E}}$."

[_hum_]

devgen в сообщении #780816 писал(а):

Все молчат, потому что я совсем дичь написал?

Может, вы бы все-таки уточнили вопросы и исправили неточности в цитатах. А то в первой у вас крышка в том месте, где ее вроде бы быть не должно

devgen в сообщении #780577 писал(а):

или счетных объединений множеств из $\hat{\mathfrak{E}}$.

во второй непонятно, объединение чего именно

devgen в сообщении #780577 писал(а):

Не трудно убедиться, что система множеств $\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathfrak{А_n}}$ строго меньше сигма-алгебры.

[arseniiv]

Во второй должно быть, судя по тексту формулы,

_hum_ в сообщении #780831 писал(а):

$\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathfrak A_n}$

Видимо, туда вкралась кириллическая А вместо латинской.

($\TeX$.)

devgen, вы зря в \mathfrak помещаете и букву, и индекс. Индекс фрактурой — это точно лишнее!

[Otta]

devgen в сообщении #780577 писал(а):

Здесь возникает первый вопрос -- зачем в операцию "крышечка" включают кроме счетных объединений операции дополнения и конечных объединений, если мы и так рассматриваем алгебру?

Вот. А теперь, если все же внести долгожданную поправку в определение, боле-мене ясно зачем. Затем, что это исходная система мн-в - алгебра. А уже после первого шага, т.е. после добавления всевозможных счетных объединений, она алгеброй, вообще говоря, не будет. Поэтому включение дополнений уже на втором шаге - это по существу.

[devgen]

Цитата:

Пусть $\mathfrak{E}$ -- некоторая система подмножеств $\Omega$ . Обозначим $\hat{\mathfrak{E}}$ систему подмножеств $\Omega$, состоящую из множеств, входящих в $\mathfrak{E}$, дополнений к ним и конечных или счетных объединений множеств из $\mathfrak{E}$. Положим $\mathfrak{A_0}=\mathfrak{A}, \mathfrak{A_1}=\hat{\mathfrak{A_0}}, \mathfrak{A_2}=\hat{\mathfrak{A_1}},...$.

Под $\mathfrak{A}$ понимается некоторая алгебра.

Цитата:

Возьмём, ${\Omega} = (0;1] и в качестве алгебры рассмотрим систему подмножеств ${\Omega}$, порожденную пустым множеством и конечными интервалами вида $(a;b]$ с рациональными концами. Не трудно убедиться, что система множеств $\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathfrak{A}_n}$ строго меньше сигма-алгебры.

Поправил, спасибо arseniiv.

Otta, спасибо, стало яснее.
Я двигаюсь к сигма-алгебре, поэтом порождаю недостающее счетным объединением. Получаю новое и догоняюсь хотя бы до алгебры, набирая все что нужно к "новому".

По процедуре "крышечка" остался только один вопрос, связанный уже с конкретным примером (который выше). Я могу за один раз получить сразу все иррациональные точки? Видимо, да. Но, я надеюсь, то, что я не могу получить сигма-алгебру таким путём, связано с тем, что таких операций я всё-таки провожу счётное число (или это не так?). Если не с этим, то я не могу совсем предположить, с чем.

Подумал думать по-другому, отталкиваясь от того, что результат уже известен. Значит, мне для его доказательства достаточно предъявить такой пример, который бы лежал в сигма-алгебре, но не лежал в $\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathfrak{A}_n}$. Но как-то дальше не смог понять, что же это может быть.

[Otta]

devgen в сообщении #780894 писал(а):

Получаю новое и догоняюсь хотя бы до алгебры, набирая все что нужно к "новому".

Дык вот не догоняетесь Вы до алгебры. Вы дополнения к множествам предыдущей системы добираете, и, даже если бы не портили все тут же добавлением счетных объединений, все равно, вообще говоря, алгебры бы не было, потому как замкнутость относительно пересечения не обеспечена. По сути, пересечения этих множеств (причем не считая только что добавленных счетных объединений) Вы будете включать в очередную систему только на следующем этапе.
Эдакое запаздывание.

devgen в сообщении #780894 писал(а):

Я могу за один раз получить сразу все иррациональные точки? Видимо, да.

Видимо, нет. Добавятся по сравнению с исходной алгеброй только интервалы $(a,b]$ с иррациональной левой границей, интервалы $(a,b)$ c произвольными $a, b$ и их счетные или конечные объединения между собой и с элементами алгебры. А иррац. точки можно будет делать со следующего шага, если не ошибаюсь.

[devgen]

Otta
Понял..Т.е. получается, я смогу получить алгебру тогда, когда перестану добавлять новые элементы и тогда на следующем шаге доберу к ним дополнения. И это уже будет не просто алгебра тогда, а сразу сигма-алгебра.
Но если я делаю счетное число раз, то что будет в итоге?

Про второе не очень понял:
У меня же изначально в алгебре есть все интервалы с рациональными концами, поэтому любое иррациональное число я получаю $\bigcap_{n=1}^{\infty}{(a_{n};b_{n})}$, где концы соответствующие последовательности десятичных приближений с избытком/недостатком.

[Otta]

devgen в сообщении #780965 писал(а):

У меня же изначально в алгебре есть все интервалы с рациональными концами, поэтому любое иррациональное число я получаю $\bigcap_{n=1}^{\infty}{(a_{n};b_{n})}$, где концы соответствующие последовательности десятичных приближений с избытком/недостатком.

А пересечений Вам никто не обещал.

[devgen]

Otta
$A\bigcap B=\overline{\overline{A}\bigcup\overline{B}}$

И вы правы , да, со второго шага...Но это не помогает понять ответ на основной вопрос.

Я ведь не ошибаюсь в том, что Борелевская сигма-алгебра прямой порождается множеством всех интервалов с рациональными концами?

[Otta]

devgen в сообщении #780975 писал(а):

Я ведь не ошибаюсь в том, что Борелевская сигма-алгебра прямой порождается множеством всех интервалов с рациональными концами?

Ну, я привыкла считать, что просто всеми открытыми интервалами, но так тоже хорошо.

devgen в сообщении #780975 писал(а):

$A\bigcap B=\overline{\overline{A}\bigcup\overline{B}}$

Это я еще помню. И если Вы внимательно посмотрите, то увидите, что пересечение (двух) элементов из $\mathfrak{A}_k$ Вам, тем самым, гарантированно удается уложить в $\mathfrak{A}_{k+2}$.

[Otta]

devgen в сообщении #780894 писал(а):

Подумал думать по-другому, отталкиваясь от того, что результат уже известен. Значит, мне для его доказательства достаточно предъявить такой пример, который бы лежал в сигма-алгебре, но не лежал в $\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathfrak{A}_n}$. Но как-то дальше не смог понять, что же это может быть.

Вряд ли Вы такой пример сможете предъявить явно.
Видимо, есть смысл действовать в лоб по определению.
Без особого труда доказывается, что $\mathfrak{F}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathfrak{A}_n}$ - алгебра. Докажите. И попробуйте доказать, что $\mathfrak{F}$ замкнуто относительно операции счетного объединения. Я думаю, Вы увидите, за счет чего это не выполняется. Единственно, предварительно следует заметить и показать, что $\mathfrak{A}_k\varsubsetneq\mathfrak{A}_{k+1}$ для любого $k$.

[devgen]

У меня ничего не получается. И отдельно я очень не понимаю, почему $\mathfrak{A}_k\varsubsetneq\mathfrak{A}_{k+1}$
Буду очень благодарен какому-нибудь совету.

[Otta]

Совсем-совсем ничего? Ну хоть что это алгебра (не сигма), получилось?