И снова предел..на этот раз верхний и нижний:)

[MestnyBomzh]

Ещё раз добрый день! Прошу помощи в проверки решённой задачи. Задача такая:Найдите $\inf{x_n},\sup{x_n},\overline{\lim}_{n\to\infty}x_n,\lim_{n\to\infty}x_n$(это нижний предел,я не нашел подчеркивания снизу) если $x_n=(1+(-1)^n\cdot\cos\frac{\pi\cdot n}{6})(1-\cos\frac{\pi\cdot n}{4});$
Решение: рассмотрим две подпоследовательности данной последовательности,а именно при четном $n$ и нечетном $n$...Тогда получим:
$x_{2n}=(1+\cos\frac{\pi\cdot n}{3})(1-\cos\frac{\pi\cdot n}{2})$ И при $2n+1$ получим: $x_{2n+1}=(1-\cos\frac{\pi\cdot(2n+1)}{6})(1-\cos\frac{\pi\cdot(2n+1)}{4})$ Рассматривая данные выражения получаем,что $\overline{\lim}_{n\to\infty}x_n=4$(исправил) и $\lim_{n\to\infty}x_n=0$(это опять же нижний предел) Тогда $\sup{x_n}=4$(исправил)(например при $n=12$),а $\inf{x_n}=0$(например при $n=0$)

[ewert]

Ничего решительно не видно. Единственное, о чём можно смутно догадаться: у Вас лишь конечное количество предельных точек -- среди них и надо искать верхний и нижний пределы. Более того -- каждый член последовательности совпадает с одной из предельных точек, а значит, и с супремумом/инфимумом аналогично.

[arseniiv]

($\TeX$.)

Вы же хотели получить это?:

$$\mathop{\overline\lim}_{n\to\infty} x_n$$

\mathop{\overline\lim}_{n\to\infty} x_n

$$\mathop{\underline\lim}_{n\to\infty} x_n$$

\mathop{\underline\lim}_{n\to\infty} x_n

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #780916 писал(а):

получим: $x_{2n+1}=(1-\cos\frac{\pi\cdot(2n+1)}{6})(1-\cos\frac{\pi\cdot(2n+1)}{4})$

ну не получается, не соответствует же это условию, отредактируйте

[MestnyBomzh]

ewert в сообщении #780927 писал(а):

MestnyBomzh в сообщении #780916 писал(а):

получим: $x_{2n+1}=(1-\cos\frac{\pi\cdot(2n+1)}{6})(1-\cos\frac{\pi\cdot(2n+1)}{4})$

ну не получается, не соответствует же это условию, отредактируйте

Спасибо,проглядел....

[ewert]

Ну это уже на что-то похоже. Только почему лишь чётные и нечётные-то? У Вас период -- $\Delta n=24$; в принципе, столько предельных точек и будет (с учётом симметрии -- несколько меньше). Вот среди них и надо искать наибольшую и наименьшую, а не "например".

[MestnyBomzh]

ewert в сообщении #780943 писал(а):

Ну это уже на что-то похоже. Только почему лишь чётные и нечётные-то? У Вас период -- $\Delta n=24$; в принципе, столько предельных точек и будет (с учётом симметрии -- несколько меньше). Вот среди них и надо искать наибольшую и наименьшую, а не "например".

Дело в том,что там разность единицы и косинуса,а так как косинус лежит в промежутке от $[-1;1]$ значит произведение $x_{2n}=(1+\cos\frac{\pi\cdot n}{3})(1-\cos\frac{\pi\cdot n}{4})$ максимально, если в первой скобке $\cos\frac{\pi\cdot n}{3}=1$ ,а во второй скобке $\cos\frac{\pi\cdot n}{4}=-1$ Такие случаи существуют, например при $n=12$(только,конечно же,верхний предел будет равен не двум,как у меня,а четырём).А минимальным это произведение будет в случае, если хотя бы одна из скобок будет равна нулю(вторая всегда будет существовать)И это будет выполняться,например,при $n=4$.А случай для $2n+1$ рассматривать даже не нужно, так как там аналогичная ситуация(тоже максимум два,а минимум ноль)Верны ли такие мои рассуждения?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #780953 писал(а):

Верны ли такие мои рассуждения?

Верны, но с двумя оговорками. Во-первых, недостаточно сказать "например при $n=12$" -- надо выписывать соотв. подпоследовательность. Ва-вторых, если бы перед минус единицей в степени стоял минус, то ситуация с верхним пределом оказалась бы сложнее.

[MestnyBomzh]

ewert в сообщении #780968 писал(а):

MestnyBomzh в сообщении #780953 писал(а):

Верны ли такие мои рассуждения?

Верны, но с двумя оговорками. Во-первых, недостаточно сказать "например при $n=12$" -- надо выписывать соотв. подпоследовательность. Ва-вторых, если бы перед минус единицей в степени стоял минус, то ситуация с верхним пределом оказалась бы сложнее.

Безусловно,было бы намного сложнее...Да и вообще повезло,что существует такая подпоследовательность,при которой в первой скобке косинус обращается в единицу,а во второй в минус единицу...