Диффур

[Limit79]

Здравствуйте!

Имеется такой диффур:

$$(y'')^2-y' \cdot y''' = \left ( \frac{y'}{x} \right ) ^2$$

Насколько я понимаю, можно понизить порядок: $y'=p(x)$, $y''=p'$ и $y'''=p''$. Получаю:

$$(p')^2-p \cdot p'' = \left ( \frac{p}{x} \right ) ^2$$

А вот что делать дальше - не знаю

[iifat]

Если поделить на $p^2$, слева будет производная частного.

[Limit79]

iifat

$$\frac{(p')^2}{p^2}-\frac{ p''}{p} = \frac{1}{x^2}$$

или

$$\frac{ p''}{p}- \frac{(p')^2}{p^2} = -\frac{1}{x^2}$$

Но ведь:

$$\left ( \frac{1}{p} \cdot p' \right)' = - \frac{p'}{p^2} + \frac{p''}{p}$$

Почему мы должны еще на производную умножать? Ведь производная по $x$, а $p=p(x)$ (хотя тут что-то явно неверно).

[ewert]

Limit79 в сообщении #780825 писал(а):

Но ведь:

$$\left ( \frac{1}{p} \cdot p' \right)' = - \frac{p'}{p^2} + \frac{p''}{p}$$

Нет.

[Limit79]

ewert
Но почему?

-- 27.10.2013, 15:32 --

Вопрос сводится к тому, почему

$$\left ( \frac{1}{p} \right )' = -\frac{1}{p^2} \cdot p'$$

а не

$$\left ( \frac{1}{p} \right )' = -\frac{1}{p^2}$$

?

[Otta]

Ну интересное кино.
А как дифференцировать $\frac{1}{\sin x}$?

[Limit79]

Otta
$\left ( \frac{1}{x} \right ) ' = -\frac{1}{x^2}$, а $\left ( \frac{1}{f(x)} \right ) ' = -\frac{1}{f^2(x)} \cdot f'(x)$



Спасибо!

-- 27.10.2013, 15:41 --

И еще вопрос: в данном случае, можно увидеть, что слева производная частного, а если бы функции были бы сложными, и мы бы этого не увидели, есть ли какой-нибудь общий подход?

[SpBTimes]

Обычно общего подхода нет.

[Limit79]

SpBTimes
Жаль

Я думал, что тут есть какая-то аналогия с этим:

$(yx)' = y'x+y$

А, например, $y'x+y = x^2$ - линейное уравнение, которое известно как решается.