2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Диффур
Сообщение27.10.2013, 04:43 
Здравствуйте!

Имеется такой диффур: $$(y'')^2-y' \cdot y''' = \left ( \frac{y'}{x} \right ) ^2$$

Насколько я понимаю, можно понизить порядок: $y'=p(x)$, $y''=p'$ и $y'''=p''$. Получаю:

$$(p')^2-p \cdot p'' = \left ( \frac{p}{x} \right ) ^2$$

А вот что делать дальше - не знаю :|

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение27.10.2013, 05:00 
Если поделить на $p^2$, слева будет производная частного.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение27.10.2013, 14:08 
iifat
$$\frac{(p')^2}{p^2}-\frac{ p''}{p} = \frac{1}{x^2}$$
или
$$\frac{ p''}{p}- \frac{(p')^2}{p^2} = -\frac{1}{x^2}$$
Но ведь:
$$\left ( \frac{1}{p} \cdot p' \right)' = - \frac{p'}{p^2} + \frac{p''}{p}$$

Почему мы должны еще на производную умножать? Ведь производная по $x$, а $p=p(x)$ (хотя тут что-то явно неверно).

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение27.10.2013, 14:11 
Limit79 в сообщении #780825 писал(а):
Но ведь:
$$\left ( \frac{1}{p} \cdot p' \right)' = - \frac{p'}{p^2} + \frac{p''}{p}$$

Нет.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение27.10.2013, 14:31 
ewert
Но почему?

-- 27.10.2013, 15:32 --

Вопрос сводится к тому, почему $$\left ( \frac{1}{p} \right )' = -\frac{1}{p^2} \cdot p'$$
а не $$\left ( \frac{1}{p} \right )' = -\frac{1}{p^2}$$ ?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение27.10.2013, 14:36 
Ну интересное кино.
А как дифференцировать $\frac{1}{\sin x}$?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение27.10.2013, 14:40 
Otta
$\left ( \frac{1}{x} \right ) ' = -\frac{1}{x^2}$, а $\left ( \frac{1}{f(x)} \right ) ' = -\frac{1}{f^2(x)} \cdot f'(x)$

:facepalm:

Спасибо!

-- 27.10.2013, 15:41 --

И еще вопрос: в данном случае, можно увидеть, что слева производная частного, а если бы функции были бы сложными, и мы бы этого не увидели, есть ли какой-нибудь общий подход?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение27.10.2013, 14:48 
Аватара пользователя
Обычно общего подхода нет.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение27.10.2013, 15:31 
SpBTimes
Жаль :-(

Я думал, что тут есть какая-то аналогия с этим:

$(yx)' = y'x+y$

А, например, $y'x+y = x^2$ - линейное уравнение, которое известно как решается.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group