Принцип неопределенности. Ошибка на Википедии в формуле?

[Sseryi]

Munin в сообщении #779872 писал(а):

А где в этом задачнике используется эта формула, и как именно?

Вот в этом задачнике есть пример решения задачи, в котором используется эта формула: ССЫЛКА

Там в итоге в решении появляется двойка, но не в том месте.... ))))))
Или я уже совсем туплю.... ?????

[Munin]

Вот, о чём и я говорил. В формулировке задачи: "величину порядка". В вопросе задачи: "оценить". Это значит, что речь идёт о вычислениях с точностью до порядка величины. В них пренебрегают "множителями порядка единицы", ведь они не сильно изменят результат вычислений.

(Единственный известный мне случай, когда такой множитель был сравнительно большой - это когда из каких-то точных вычислений он получался что-то типа $60\pi^2$ - но и это даёт всего пару десятичных порядков ошибки. Ангстрем с миллиметром так не спутаешь.)

Рассуждать качественно и делать оценки с точностью до порядка - одно из ценных умений для физика. Оно позволяет предугадать ответ, проверить точный ответ на реалистичность, а главное - отсортировать по величине разные дополнительные эффекты и факторы, что необходимо и в теоретических расчётах, и в постановке эксперимента. Например, измеряете вы отклонение падения яблока от закона $\tfrac{gt^2}{2}.$ Что вам придётся учесть первым: сопротивление воздуха, неоднородность воздуха, силу Кориолиса из-за вращения Земли, уменьшение $g$ с высотой, влияние Луны, влияние несферичности Земли, влияние несферичности Солнца?.. :-) Давление солнечного света?..

Вообще, Утундрий прав, и более аккуратно было бы ставить значок $\gtrsim,$ а не $\geqslant.$ Но такая "неаккуратность" встречается в книгах по физике. Слишком много математических значков физики запоминать не любят, а компенсируют это словесными пояснениями: здесь "с точностью до малых такого-то порядка", здесь "оценка по порядку величины".

Всё нормально, не переживайте, все задачники правильные, и в Википупии тоже правильно (потому что списано с Ландау).

[nestoronij]

Munin в сообщении #780202 писал(а):

Рассуждать качественно и делать оценки с точностью до порядка - одно из ценных умений для физика. Оно позволяет предугадать ответ, проверить точный ответ на реалистичность, а главное - отсортировать по величине разные дополнительные эффекты и факторы, что необходимо и в теоретических расчётах, и в постановке эксперимента. .....
...Всё нормально, не переживайте, все задачники правильные, и в Википупии тоже правильно (потому что списано с Ландау).

А мне не очень Википупия. Не всё списано правильно. В нашей библиотеке списывали хлам. БСЭ попала в эту рубрику. Не поленился, пригнал тачку и удалось перевезти домой 18 томов. Остальные не успел. Потом купил 3 диска БСЭ - всё тоже.

[Munin]

nestoronij в сообщении #780213 писал(а):

А мне не очень Википупия.

Дык. Я и не говорю, что она очень. Просто в данной конкретной формуле правильно. Не поймите меня неправильно.

[Sseryi]

Я, наверно, действительно дурак, так как я абсолютно ничего не понял...
В примере в ответе получается конкретное число... без всяких "порядков" и "точностей"....
Вообще непонятно как решать подобные задачи тогда.

[Утундрий]

Sseryi в сообщении #780231 писал(а):

В примере в ответе получается конкретное число... без всяких "порядков" и "точностей"....
Вообще непонятно как решать подобные задачи тогда.

Приведите здесь пример и ответ. Наберите текст полностью с формулами, формулы оформляйте при помощи тега math. Укажите какой именно момент непонятен.

[Munin]

Sseryi в сообщении #780231 писал(а):

В примере в ответе получается конкретное число... без всяких "порядков" и "точностей"....

Да, но смысл этого конкретного числа - это именно "оценка по порядку".

Вы что, действительно думаете, что радиус атома водорода 1,2 ангстрем? Для начала, вы что, думаете, что кинетическая энергия электрона в атоме водорода 10 эв? Для начала, энергия ионизации 13 эВ, а не десять, а средняя (средняя!) кинетическая по теореме вириала будет в два раза меньше.

Далее, реально радиус атома водорода - это радиус Бора 0,5 ангстрем. Хммм... Ну да, точно, а диаметр - 1 ангстрем с мелочью. В общем, неплохое совпадение получилось, до 1 значащей цифры, это даже лучше, чем по порядку.

Но на самом деле, здесь есть элемент подгонки. Это как раз та самая двойка, это негауссовское распределение вероятности электрона в атоме, это тот факт, что вероятность спадает по радиусу постепенно, и радиус Бора даёт только характерную длину, на которой она спадает в $e^2$ раз (а волновая функция всего лишь в $e$ раз - вот ещё одна двойка). Может быть, авторы задачи специально привели соотношение неопределённостей без двойки, чтобы ответ у них получился близок к "правильному". Невзирая на то, что студентов по сути обманывают.

Sseryi в сообщении #780231 писал(а):

Вообще непонятно как решать подобные задачи тогда.

Вот так и решать. Если вы воспользуетесь формулой с "пополам", то у вас получится число в два раза меньше. Но это тоже будет правильный ответ!

-- 26.10.2013 00:37:36 --

Утундрий
Ссылка же дана: post780189.html#p780189
Там картинка.

[Утундрий]

А, не заметил. Ну, там с такой уж "логарифмической" (читай поделить/умножить на 10) точностью рассматривается, что на двойку можно не обращать внимания. Чего стоит одна "физически разумная неопределённость импульса"!

[Munin]

Утундрий
Уф, может, вы тоже объясните студенту, что такое "рассуждения и оценки с точностью до порядка"? А то у меня как-то уклюже не получилось.

[Утундрий]

В данном примере это даже не оценка, а размерностные соображения. Пример оценки возникнет, если сформулировать задачу в наблюдаемых терминах. Рассмотрим тот же атом водорода, а точнее поведение его электрона. Из опыта известно, что электрон шастает вокруг ядра. Охарактеризуем процесс шастанья неким характерным значеним импульса $p$ и расстояния от ядра $r$. Превратим некие в какие, посредством требования, чтобы средняя кинетическая энергия электрона была в точности равна $\frac{{p^2 }}{{2m_e }}$, а потенциальная $ - \frac{{e^2 }}{r}$. Так что характерная энергия электрона будет $E = \frac{{p^2 }}{{2m_e }} - \frac{{e^2 }}{r}$. Далее, мы что-то слышали про соотношение неопределённостей. Мол, произведение должным образом определённых неопределённостей импульса и координаты не бывает меньше чем $\frac{\hbar }{2}$. Однако, у нас нет неопределённостей, а есть только некоторые характерные значения. Предположим, впрочем, что неопределённости им пропорциональны. Тогда в процессе шастанья скорее всего $pr = \beta \hbar $, где $\beta $ - что-то порядка единицы. Исключив из выражения для энергии $p$, получим $E = - \frac{{e^2 }}{r}\left( {1 - \beta ^2 \frac{{\hbar ^2 }}{{2m_e e^2 r}}} \right)$. Получили зависимость, имеющую минимум $E = - \beta ^{ - 2} \frac{{m_e e^4 }}{{2\hbar ^2 }}$ при $r = a \equiv \beta ^2 \frac{{\hbar ^2 }}{{m_e e^2 }}$. Отождествим наш минимум с наиболее устойчивым (основным) состоянием электрона и сравним его энергию с потенциалом ионизации. Эксперименту соответствует $\beta =1$, значит характерный радиус электрона есть $\frac{{\hbar ^2 }}{{m_e e^2 }}$.

[Munin]

Утундрий в сообщении #780448 писал(а):

Охарактеризуем процесс шастанья неким характерным значеним импульса $p$ и расстояния от ядра $r$.

"Характерным" - это "в районе какого значения они болтаются"...

Утундрий в сообщении #780448 писал(а):

Однако, у нас нет неопределённостей, а есть только некоторые характерные значения. Предположим, впрочем, что неопределённости им пропорциональны.

Что неудивительно, в том смысле, что средний импульс равен 0 (электрон относительно ядра никуда в целом не летит, а только болтается туда-сюда), и среднее смещение (без модуля!) равно 0 (электрон относительно ядра никуда в целом не смещён, а только размазан там и сям).

Слово "пропорциональны" не в математическом смысле $a=Cb$ - где $C$ может быть какой угодно константой, хоть мильярд, хоть единица с мильярдом нулей - а именно в смысле, что отношение "что-то порядка единицы".

Утундрий в сообщении #780448 писал(а):

Получили зависимость, имеющую минимум... Отождествим наш минимум с наиболее устойчивым (основным) состоянием электрона...

Ну как хитро́. А я через теорему вириала...

[Утундрий]

По логике рассуждений мы "ещё не знаем" УШ и понятия не имеем как он там шатается. Известно только, что классика применима ограничено (иначе электрон быстро высветит свои 13,6 эВ и водород скукожится). Так что теорема вириала под вопросом. А пропорциональность понимкется всё-таки в математическом смысле, иначе непонятно с какой стати должно сохраняться ограничение именно на произведение. Полной же теории мы, повторюсь, тоже не знаем и ничего о вероятностях распределения сказать не можем. Иначе нет смысла в этих оценках, проще взять да посчитать точно.

[Munin]

Примечание: все "не знаем" в кавычках. То есть, читатель учебника и задачника их не знает на тот момент, когда решает задачу. Или может знать, но от него использования этих знаний не требуется. А вообще в целом человечество их знает. Они изложены в учебниках по квантовой механике.

[Утундрий]

Читатель задачника может знать что угодно, в том числе и больше нежели составители задачника. Однако, это не должно мешать ему определять область уместности задачи. П.м.с.м., все эти кунштюки имеют смысл только в узкой зоне перехода от классики к квантам и представляют ценность главным образом для фаната истории науки.

[Munin]

Утундрий в сообщении #780557 писал(а):

П.м.с.м., все эти кунштюки имеют смысл только в узкой зоне перехода от классики к квантам и представляют ценность главным образом для фаната истории науки.

Эти конкретные - да. А вообще оценки по порядку и по размерности - штука в физике распространённая. Особенно там, где мы точных формул ещё не знаем вообще.