Определить вектор

[Keter]

Определить вектор $\vec{x},$ который удовлетворяет системе уравнений:

$$ \begin{cases} (\vec{a}, \vec{x})=\alpha, \\ [\vec{b}, \vec{x}]=\vec{c}, \end{cases} $$

где $(\vec{a}, \vec{b}) \ne 0, (\vec{b}, \vec{c}) = 0, \alpha \in \mathbb{R}.$

[ewert]

Во-первых, что мешает составить и решить систему уравнений для координат? А во-вторых, очевидно, что из равенства для векторного произведения следует, что $\vec x=\vec d+t\cdot\vec b$, где $t$ -- произвольный параметр и вектор $d$ пропорционален $[\vec b,\vec c]$ (коэффициент пропорциональности угадайте сами).

[Keter]

ewert, я правильно понимаю, что $[\vec{b}, \vec{x}] = \vec{c}$ можно векторно домножить на $\vec{a}$ и получить $\Big[ [\vec{b}, \vec{x}], \vec{a} \Big] = \vec{x} (\vec{b}, \vec{a})-\vec{b} (\vec{x}, \vec{a})=[\vec{c}, \vec{a}] ?$ Откуда, с учетом $(\vec{x}, \vec{a})=\alpha,$ имеем:

$$\vec{x}=\dfrac{[\vec{c}, \vec{a}]}{(\vec{b}, \vec{a})}+\dfrac{\alpha \vec{b}}{(\vec{b}, \vec{a})}.$$

[ewert]

Правильно.