Помогите ограничить сверху

[Keter]

Помогите ограничить сверху $\sqrt[n^2]{1! \cdot 2! \cdot ... \cdot n!}$ с помощью $n! < \sqrt{2\pi n} \bigg(\dfrac{n}{e}\bigg)^n e^{O(1/n)}.$

[Утундрий]

$ln$

[Keter]

Вы имеете в виду

$$\exp \bigg( \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \ln k!\bigg)<\exp \dfrac{1}{n^2} \bigg( \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n \ln 2\pi k + \sum_{k=1}^n k \ln k - \dfrac{n(n+1)}{2}+O(1/n) \bigg) ?$$

[Утундрий]

Ну, оно как бы напрашивается. Теперь надобно как-то оценить ряды и дело в шляпе.

[Keter]

Так можно оценить?

$$\sum_{k=1}^n \ln 2 \pi k = \ln (2 \pi)^n n!=n \ln 2\pi + \ln n! < \bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg) \ln 2\pi n +n \ln n -n+O(1/n)$$

$$\sum_{k=1}^n k \ln k < \dfrac{n^2}{2} \ln n - \dfrac{n^2}{2}$$

[Keter]

В итоге получилась такая штука, при условии, что $O(1/n)=1/12n$:

$$< \exp \bigg( \Big(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2n^2}\Big) \ln \sqrt{2 \pi n} - \dfrac{7}{8n}\bigg)$$

[ewert]

Здесь Стирлинг выглядит крайне неразумным, зато вот сами логарифмы складываются элементарно: $\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^k\ln i=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=i}^n\ln i=\sum\limits_{i=1}^n(n-i+1)\ln i$.

[Keter]

$$\ln (1! \cdot 2! \cdot ... \cdot n!) = $$

$$=\ln 1! + ... + \ln n! = \ln 1! + (\ln 1! + \ln 2!) + ... + (\ln 1! + ... + \ln n!) =$$

$$= \sum_{k=1}^n (n-k+1) \ln k.$$

$$(1! \cdot 2! \cdot ... \cdot n!)^{1/n^2} = \exp \bigg( \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n-k+1) \ln k \bigg).$$

-- 29.10.2013, 01:46 --

ewert, но сумму нужно как-то ограничить...

[ewert]

Она практически в лоб оценивается. Выражение под экспонентой естественным образом разбивается как $\frac{\ln n}{n^2} \sum_{k=1}^n (n-k+1)+\sum_{k=1}^n (1-\frac{k-1}{n}) \ln\frac{k}{n}\cdot\frac{1}{n}.$ Первое слагаемое есть $\frac{n+1}{2n}\ln n$, а вторая сумма является интегральной и стремится к $\int\limits_0^1(1-x)\ln x\,dx=-\frac34$ (формально обосновывается, как обычно, монотонностью подынтегральной функции). Итого получаем асимптотику $\frac{\ln n}2-\frac34+O(\frac{\ln n}{n})$ и, соответственно, для исходного выражения $e^{-\frac34}\sqrt n\left(1+O(\frac{\ln n}{n})\right)$. При желании хвостик $O(\frac{\ln n}{n})$ легко оценить явно хоть сверху, хоть снизу, но не очень понятно, зачем нужно такое желание.