Предел

[Gelhenec]

Помогите найти предел
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

[Sonic86]

Приведите попытки решения.
Есть ли у Вас гипотезы, чему равен предел?
Как можно оценить сверху и снизу сумму в скобках?

[mihailm]

Gelhenec, с интегральными суммами знакомы?
Также есть вполне школьные решения, например в Коровкине П.П. "Неравенства", там на второй странице

[Gelhenec]

Через интегральные суммы не получается. Оценив предел снизу и сверху, получил 2

-- 23.10.2013, 21:37 --

Подскажите какую функцию взять

[BatMan]

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

[korolev]

У меня тоже получилось 2. Точнее так:

$\lim \limits_{n \to \infty}\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{nk}}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{H_{n}^{\left (\frac 12 \right )}}{\sqrt{n}}=2$

[ewert]

Конечно, это сумма очевидно интегральная, из чего и с ответом всё очевидно. Однако тут засада: интеграл -- несобственный, а для него понятие интегральной суммы просто не определено. Если уж сводить к интегралам, то надо воспользоваться монотонностью и оценить исходную сумму через интеграл от нуля до эн с одной стороны и от единицы до эн плюс один с другой. Тогда тоже всё очень быстро получится; но чтобы выйти на эту идею -- надо держать в памяти, что сумма эта всё-таки интегральная, пусть и некорректно.

Без интегралов же задачка выглядит неким извращением. Т.е. выкрутиться-то, конечно, можно. Например, предположить, что предел есть конечное число $c$, и попытаться доказать по индукции, что $1+\ldots+\frac1n>c\sqrt n$. Тогда сразу будет видно, что при одних $c$ индукционный переход заведомо проваливается, при других -- заведомо наоборот, а интересует нас, соответственно, граничный случай. В граничном же выясняется, что мы не угадали с направлением неравенства; ну что ж -- значит, мы доказали по индукции неравенство в обратную сторону. И т.д.

Но это -- извращение. Нелепо считать кустарно предел, ориентированнывй откровенно на интегралы.

[Human]

А ещё есть теорема Штольца...

-- 24.10.2013, 21:11 --

mihailm, спасибо за книгу!

[Gelhenec]

Скажите, пожалуйста, а что такое $ H_{n}^{\left(\frac{1}{2}\right)}$?

[Human]

Это выдаёт Вольфрам, если в него загнать данный предел. И пишет, что это обобщённое гармоническое число.

[mihailm]

(Оффтоп)

korolev похоже плагиатор)
"У меня получилось"