Конус с точкой - 2

[dovlato]

У меня просьба к коллегам. Сейчас я наткнулся на свою же задачу "конус с упругой точкой".. не сразу даже вспомнил, как я её тогда себе представлял.
Так вот просьба - к экспертам: дать своё резюме.
Я считаю, что углы между образующими, проходящими через любые соседние точки ударов точечной массы о коническую поверхность - одинаковы.
И, в таком случае, задача сводима к известной задаче с точкой в двугранном угле.

[Oleg Zubelevich]

кинетический момент относительно оси конуса сохраняется, если я правильно понял задачу

[dovlato]

Конечно, тут сохраняется и момент импульса, и механическая энергия.
По-моему (именно это я и выношу на обсуждение), если через вершину конуса и любые точки
двух последовательных упругих соударений маленького шарика о коническую поверхность провести плоскость,
то часть этой плоскости, остающаяся внутри конуса, будет углом, причём величина этого угла будет постоянной.
И следовательно, всё движение шарика описывается так же, как и для шарика в плоском двугранном угле.

[Oleg Zubelevich]

я как-то пока не очень понял формулировку ,в частности есть ли сила тяжести .
Думаю, что то, что Вы спрашиваете можно получить лобовым вычислением.
А вопрос такой, Ваше утверждение согласуется с движением шарика, когда он скользит по поверхности конуса? Ведь скольжение это предельный случай ударов, на конечном промежутке времени по крайней мере.

[dovlato]

В наиболее простом случае сила тяжести отсутствует. Другой вариант - наличие гравитирующей массы в вершине конуса.
Тогда будет квазиэллиптическая траектория, ровно с теми же апогеем, перигеем и периодом (!).

[dovlato]

Я приведу свои соображения. Тут геометрии больше чем физики.
Итак, пусть всё будет в невесомости. В некую внутреннюю точку А конической поверхности попадает мааааленький шарик,
имея вектор скорости $\vec v_0$, и абсолютно упруго от неё отскакивает со скоростью $\vec v_1$.
Пусть $\vec n$ - нормаль к поверхности в точке А. Обозначим $\alpha$ плоскость, в которой лежат нормаль и образующая (кстати, и ось тоже).
Пусть $\alpha_0, \alpha_1$ - плоскости, в которых лежат соответственно векторы скорости падения и отражения - и образующая.
Ясно, что угол падения и угол отражения равны. Мало того; все три вектора - т. е. обе скорости и нормаль - лежат в одной плоскости,
то есть ровно так же, как это было бы при отскоке от упругой плоскости.
Отсюда, во первых, следует, что двугранные углы между $\alpha, \alpha_0$ и между $\alpha, \alpha_1$ равны.
Во вторых, угол, образуемый любой парой последовательных образующих, остаётся постоянным.
И в ходе отскоков происходит образование всё новых таких углов; разворачивание (внутри конуса) гранёной поверхности.
В отдельных случаях углы между образующими могут замкнуться.
Шарик постоянно находится внутри этой гранёной поверхности, и движется в ней ровно так же, как он двигался бы внутри двугранного угла,
когда вектор его скорости был бы постоянно перпендикулярен линии пересечения плоскостей, образующих двугранный угол.
Если, наконец, в вершине конуса - тяжёлая масса, то шарик будет описывать нечто вроде эллипса (параболы или гиперболы), с изломами плоскости движения при каждом очередном отскоке.
Все законы Кеплера будут оставаться в силе.