Как доказать ограниченность данной последовательности?

[ewert]

Ересь не ересь, но что-то безумно длинное. После того, как по картинке с поведением последовательности всё стало ясно, формально это обосновывается уже совсем легко. Неравенство $x_{n+1}<\sqrt2$ означает, что $\frac1{2x_{n}}+\frac34x_n<\sqrt2$, что сразу даёт $\frac{\sqrt2}3<x_n<\sqrt2$. С другой стороны, $x_{n+1}>x_{n}$ равносильно $x_{n}<\sqrt2$. В совокупности это означает, что если хотя бы один член последовательности попал в этот интервал, то и все следующие из него не выйдут, а значит, последовательность дальше будет лишь возрастать.

(На самом деле не нужно было даже решать это неравенство честно. Достаточно того, что это некоторый интервал, правым концом которого является корень из двух. А он -- конец именно правый, поскольку единичка этому неравенству удовлетворяет.)