Связь периодичности и непрерывности

[Allana]

Пусть f(x) - периодичная, неограниченная на R.
Доказать:
Если существует наименьший положительный период, то функция непрерывна хотя бы в одной точке.

[Oleg Zubelevich]

Через $D(x)$ обозначим функцию типа Дирихле $,\quad D(\mathbb{Q})=2,\quad D(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})=1$.

Определим функцию $f:[0,1)\to\mathbb{R}$ следующим образом $f(x)=D(x)/x,\quad x\ne 0 $ и $f(0)=0$. Функцию $f(x)$ продолжаем периодически на $\mathbb{R}$

[Allana]

Oleg Zubelevich в сообщении #778998 писал(а):

Через $D(x)$ обозначим функцию типа Дирихле $,\quad D(\mathbb{Q})=2,\quad D(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})=1$.

Определим функцию $f:[0,1)\to\mathbb{R}$ следующим образом $f(x)=D(x)/x,\quad x\ne 0 $ и $f(0)=0$. Функцию $f(x)$ продолжаем периодически на $\mathbb{R}$

Причем здесь это?

[gris]

Интересно, из каких размышлений выросла эта задача, не ведая стыда?
Конечно, слова "хотя бы в одной точке" для периодической функции несколько комичны, но тем не менее вот функция Дирихле всюду разрывна и при этом ограничена и периодична без наименьшего периода. Квазилогически меняем местами части предложения и вот: Если функция не имеет наименьшего периода и неограничена, то уж она не будет везде разрывна. А тут уже полноценная логика: Отрицание разрывности всюду есть непрерывность хотя бы в одной точке.

А "это" — контрпример, как я полагаю.