Квантовая механика. Сложение моментов.

[Ertest]

Найти собственные функции квадрата и $z$-компоненты полного момента, являющегося суммой двух моментов $s_1=s_2=1/2$ .
Трудность заключается в применении и понимании коэффициентов Клебша– Гордана, и наверно, понимании того что я делаю в целом.
Сумбур из того, что мне удалось понять: $\hat{S_1}+\hat{S_2}=\hat{J}$
$\hat{S_1^2}+\hat{S_2^2}+2(\hat{S_1}\hat{S_2})=\hat{J^2}$
$\hat{S_1_z}+\hat{S_2_z}=\hat{J_z}$
Всего в моей задаче может реализовываться четыре возможных состояния $\mid00\rangle$ , $\mid01\rangle$ , $\mid-11\rangle$ , $\mid11\rangle$ .
$j$ пробегает значения $0\leqslant{j}\leqslant1$
Известно, что для простого(односоставного) полного момента выполняется:
$\hat{J^2}\mid{J,M}\rangle=J(J+1)\mid{J,M}\rangle$ и $\hat{J_z}\mid{J,M}\rangle=M\mid{J,M}\rangle$.
На мой взгляд, было бы логично вместо $\hat{J^2}$ и $\hat{J_z}$ подставить соответствующие выражения из выше написанного. Но при решение у меня выходит ерунда, с выражением для квадрата. Для $z$ компоненты будет $M=M_1+M_2$. И хотелось бы уточнить, это суммарное $M$, принимает значения $-\mid{J_1+J_2}\mid\leqslant{M}\leqslant{J_1+J_2}$ ? И что делать с собственными функциями, как найти их явный вид и нужно ли это вообще, я не понимаю.
Как я понял на помощь в данной ситуации мне должный прийти коэффициенты Клебша– Гордана. Суть их в том, что я могу представить $\mid{J_1,J_2,J,M}\rangle$ через известные $\mid{J_1,J_2,M_1,M_2\rangle}$ .Выглядит это следующим образом: $\mid{J_1,J_2,J,M}\rangle=\sum\limits_{M=M_1+M_2}({J_1,J_2,M_1,M_2}\mid{J_1,J_2,J,M})\mid{J_1,J_2,M_1,M_2}\rangle$ .
Где $C_{M_1M_2}^J=\sum\limits_{M=M_1+M_2}({J_1,J_2,M_1,M_2}\mid{J_1,J_2,J,M})$ , те самые коэффициенты. Я знаю, что для них есть таблицы, что их можно высчитать в вальфраме(некоторые из них занулятся). Но как конкретно их применить к решению задачи, и как найти то что мне нужно я пока не понял. У меня есть недопонимание сути кет векторов,например запись $\hat{J^2}\mid{J,M}\rangle=J(J+1)\mid{J,M}\rangle$ я понимаю(на функцию с соответствующими индексами действуем оператором, получаем сз и сф.), а вот $\mid{J_1,J_2,M_1,M_2\rangle}$ , видимо нет. Ну и про состояния $\mid00\rangle$ и т.д., чисто на интуитивном уровне(когда проекции совпадают, получаю единицу или минус единицу, в противном случае нуль. Но почему в скобках два "числа" и что они значат, сказать не могу). Еще вопрос, можно или нужно ли сюда каким-нибудь боком приписывать операторы рождения и уничтожения?
Поэтому просьба максимум разжевать здесь остатки задачи, минимум кинуться учебником, где на все мои вопросы можно найти ответы, такие чтобы понял даже умственно отсталый человек.
P.S: Заранее извинюсь за возможные огрехи в верстке формул(производил в первый раз) и в написании текста(в плане объемности и качества формулировок предложений). Заранее благодарен.

[Alex-Yu]

Ertest в сообщении #778218 писал(а):

Всего в моей задаче может реализовываться четыре возможных состояния $\mid00\rangle$ , $\mid01\rangle$ , $\mid-11\rangle$ , $\mid11\rangle$ .

Странно как-то записано... Смотря как понимать, конечно. Я бы записал скорее так:

$$ |-1-1\rangle \, , \, |-11\rangle \, , \, |1-1\rangle \, , \, |11\rangle \, , \, $$

Проекция спина 1/2 не бывает нулевой. Лучше бы вместо единичек вообще писать 1/2, но это можно подразумевать.

Дальше можно по разному. Изящно --- это через коэффициенты Клебша-Гордана. Почитайте Ландау-Лифшица т.3. Но можно "в лоб". Напишите как действуют операторы $\hat{j}^2$ и $\hat{j}_z$ на каждую из этих четырех функций. Потом "матрируйте" уравнения на собственные значения на записанных выше четырех функциях. Т.е. запишите искомую функцию как линейную комбинацию с некими коэффициентами этих четырех функций, подействуйте операторами и умножте слева по очереди на все бра из четырех. Получите уравнения на коэффициенты. В итоге все сведется к операциям с матрицами $4 \times 4$. Можно даже матрицы не вводить явно, обойтись просто уравнениями на коэффициенты.

[Ertest]

Цитата:

Проекция спина 1/2 не бывает нулевой.

У меня же $M=M_1+M_2$ , если $M_1$ и $M_2$ разных знаков итог даст ноль?..
А так я вроде разобрался, чуть позже внесу исправления.

Цитата:

запишите искомую функцию как линейную комбинацию с некими коэффициентами этих четырех функций,

в этом и суть коэф Клебша-Гордана. А расписывать все в лоб,у меня что-то не получилось..там еще, как я понял надо вводить операторы рождения и уничтожения..

[Alex-Yu]

Ertest в сообщении #778634 писал(а):

Цитата:

Проекция спина 1/2 не бывает нулевой.

У меня же $M=M_1+M_2$ , если $M_1$ и $M_2$ разных знаков итог даст ноль?...

И что такое тогда ДВЕ цифирьки??? Не... Исходные базисные функции --- это состояния, в которых проекция каждого из двух спинов имеет фиксированное значение. А проекция суммарного момента появится когда решите две связанных задачи на собственные значения. Пишите уравнения и решайте. Это более толковое занятие, чем гадать на кофейной гуще.

-- Вт окт 22, 2013 21:58:03 --

Ertest в сообщении #778634 писал(а):

Ссылку, где я вычитал про состояния

Надо не читать, надо решать. Кто слишком много читает, тот отучается мыслить.

-- Вт окт 22, 2013 22:00:18 --

Ertest в сообщении #778634 писал(а):

надо вводить операторы рождения и уничтожения..

Не надо. Просто тут все. До предела просто.

-- Вт окт 22, 2013 22:01:33 --

Ertest в сообщении #778634 писал(а):

в этом и суть коэф Клебша-Гордана.

Ну дык или берем их готовыми (можно из теории групп получить) или находим их явными вычислениями. Да, это они. В таком простом (!!!) примере полезно получить явными вычислениями даже если есть готовые.

[Ertest]

Цитата:

И что такое тогда ДВЕ цифирьки??? Не... Исходные базисные функции --- это состояния, в которых проекция каждого из двух спинов имеет фиксированное значение. А проекция суммарного момента появится когда решите две связанных задачи на собственные значения. Пишите уравнения и решайте. Это более толковое занятие, чем гадать на кофейной гуще.

Это я понял, спасибо за ответ. Просто преподаватель потребовал решить через Клебша-Гордана...как сказал, чуть позже покажу что у меня вышло.

Цитата:

Не надо. Просто тут все. До предела просто.

Со слагаемым вида $2(\hat{S_1}\hat{S_2})$ ,мне не очень просто)

[Alex-Yu]

Ertest в сообщении #778651 писал(а):

Со слагаемым вида $2(\hat{S_1}\hat{S_2})$ ,мне не очень просто)

И чего тут сложного? Перемножаете x-компоненты, потом y-компоненты, потом z-компоненты. Складываете. Обычное скалярное произведение двух векторов (правда, операторных векторов). Да, на двойку все умножить не забудьте. Оператор с индексом 1 действует только на первый спин, второй --- только на второй спин.

-- Вт окт 22, 2013 22:11:03 --

Ertest в сообщении #778651 писал(а):

Просто преподаватель потребовал решить через Клебша-Гордана

Через готовые клебши (так их на жаргоне называют) -- это вообще не задача, балавство какое-то. Упражнение по чистописанию (по переписыванию из книжки). Чистописанием, вообще-то, занимаются в первом классе средней школы.