Можно ли доказать аксиому?

[provincialka]

Ну, дык они же писатели. Фантасты. Да и шутники, к тому же. Прикололись парни.

[Sonic86]

Linkey в сообщении #778411 писал(а):

Предлагаю такую мысль: аксиома о параллельных прямых тесно связана с проблемой деления на ноль, и в будущем, когда в математике будет разработана теория деления на ноль, эта аксиома станет теоремой (система аксиом станет шире).

Вообще, я могу сделать вид, будто я все понял, и сказать, что на самом деле нечто подобное уже давно есть, только связано это не с геометрией Лобачевского, а с проективной геометрией. В проективной плоскости есть бесконечно удаленные элементы, в которых пересекаются параллельные прямые. Там вообще все прямые пересекаются. Только там не решают никакой проблемы деления на нуль (такой проблемы вообще нет), а просто используют однородные координаты $(x:y:z)$ вместо $(\frac{x}{z};\frac{y}{z},1)$.
Еще можно спросить, почему система аксиом станет вдруг шире, если Вы предполагали, что аксиому докажут, но помолчу лучше.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #778411 писал(а):

Я не такой умный как Лобачевский, но рискнул бы вступить с ним в полемику. Предлагаю такую мысль: аксиома о параллельных прямых тесно связана с проблемой деления на ноль, и в будущем, когда в математике будет разработана теория деления на ноль, эта аксиома станет теоремой (система аксиом станет шире).

Так полемика не делается. Берите доказательство независимости, напр. тут, и объясняйте, в чем там ошибка.

Linkey в сообщении #778411 писал(а):

когда в математике будет разработана теория деления на ноль

"Теория деления на ноль" в математике давно разработана. К сожалению, школьникам классе в 6-7 не объясняют, что правило "делить на 0 нельзя" - это не каким-то образом произвольно выбранное правило, а строго доказанная теорема. Но для доказательства естественно надо знать, что такое "деление" (это школьникам вроде объясняют) и что такое 0 (тут уже хуже).

Так, вот деление определяется как операция, обратная к умножению, то есть $a/b$ - это решение уравнения $xb = a$.
Нуль определяется как нейтральный по сложению элемент, то есть $0$ - это то, что удовлетворяет соотношению $0+x = x + 0 = x$ для всех $x$. Отсюда следует, что $x - x = 0$.
Дальше можно доказать, что $x\cdot 0 = 0$ для любого $x$. Доказывается так: $ x\cdot 0 = x(a - a) = xa - xa = 0$.
И наконец, допустим, что $1/0$ существует и равно $z$. Это значит, что $z\cdot 0 = 1$. Но мы раньше доказали, что $z\cdot 0 = 0$. Противоречие.

То есть, для того, чтобы уметь делить на нуль, нужно либо отказаться от общепринятых определений нуля или деления (то есть говорить на необщепринятом языке, а значит, каждый раз пояснять, что именно мы имеем в виду, иначе поймут неправильно), либо отказаться от понятия разности (на самом деле, даже полноценная разность тут не нужна, достаточно свойства сократимости: $x +y = z + y \Rightarrow x = z$), либо отказаться от свойства дистрибутивности, либо рассматривать случай $0=1$ (в этом случае все плохо, $x = x \cdot 1 = x\cdot 0 = 0$, то есть все равно нулю)

[Linkey]

Я могу предлагать идеи, а вы уж дальше сами решайте.
Как я понимаю, $\frac{1}{0}$ – это не бесконечность. Во-первых, ноль умножить на бесконечность равно ноль, во-вторых, эта “бесконечность” должна быть одновременно положительной и отрицательной, т.к. ноль не имеет знака (это и не положительное число, и не отрицательное).
На Лурке написано, что это называется, кажется, “актуальная бесконечность”:

http://lurkmore.to/Деление_на_ноль

И ещё здесь написано предостережение:

Цитата:

В среде математиков считается, что попытка представить получающуюся в итоге актуальную бесконечность (неотъемлемая часть успешного деления на ноль, в противоположность потенциальной бесконечности из теории пределов) ведёт к сумасшествию совершившего это.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #778519 писал(а):

Я могу предлагать идеи, а вы уж дальше сами решайте.

В таком случае не обижайтесь, что будут иметь низший приоритет по сравнению с идеями тех людей, которые освоили учебник алгебры. А значит, рассматриваться будут вряд ли.

Linkey в сообщении #778519 писал(а):

На Лурке написано, что это называется, кажется, “актуальная бесконечность”:
http://lurkmore.to/ Деление_на_ноль

И ещё здесь написано предостережение:

Цитата:

В среде математиков считается, что попытка представить получающуюся в итоге актуальную бесконечность (неотъемлемая часть успешного деления на ноль, в противоположность потенциальной бесконечности из теории пределов) ведёт к сумасшествию совершившего это.

Интересно, что эту статью на лурке писали люди знающие, но Вы из нее выбрали лулзовое утверждение, которое употребляется для того, чтобы не объяснять то, что я написал в предыдущем посте. Кстати, это в статье на лурке тоже есть. Вот тут:

Лурк писал(а):

Поле действительных чисел, помимо всего прочего, как и любое другое поле, является аддитивной группой, и ноль — нейтральный элемент этой группы. Множество ненулевых действительных чисел, снабжённое операцией умножения, является мультипликативной группой. Поэтому запиливая ноль в эту группу, мы превращаем её во что-то группой не являющееся, ибо понадобилось бы как минимум запилить туда обратный нулю элемент, который, очевидно, не может быть действительным числом, а если запилить НЁХ как обратку, то ещё больше проблем будет, так как остальные элементы действительные, и понадобилось бы прописать, как они взаимодействуют с обраткой, и даже если всё цивильно получится, то полученное множество уже не будет даже изоморфно привычному множеству действительных чисел и вообще не будет кольцом. Такие дела.

[Neos]

На самом деле, почти каждая аксиома проверяется математиками "на зуб", на предмет возможности ее доказательства. В конце-концов формируется минимальный комплект положений, из которых строится замкнутая теория. Причем, замена любой наугад выбранной аксиомы на противоположную может иногда тоже привести к другой непротиворечивой теории. Так произошло с пятым постулатом. Появилась геометрия Лобачевского.
Linkey, в Вашем случае, если в качестве "пространства"
выбрать сферу, то через полюса можно провести бесконечное число кратчайших линий-"прямых". Покопайте в Истории математики, и в ее основаниях. Там много чего про это написано.

[Linkey]

Xaositect в сообщении #778525 писал(а):

Интересно, что эту статью на лурке писали люди знающие, но Вы из нее выбрали лулзовое утверждение, которое употребляется для того, чтобы не объяснять то, что я написал в предыдущем посте. Кстати, это в статье на лурке тоже есть. Вот тут:

Мне не хватает знаний, чтобы что-то противопоставить этому. Но предлагаю подойти с другого конца. Назовём число $\frac{1}{0}$, например "Актуальная бесконечность". Вы можете доказать, что использование актуальной бесконечности не может быть использовано практически?

[Xaositect]

Linkey в сообщении #778546 писал(а):

Мне не хватает знаний, чтобы что-то противопоставить этому. Но предлагаю подойти с другого конца. Назовём число 1/0, например "Актуальная бесконечность". Вы можете доказать, что использование актуальной бесконечности не может быть использовано практически?

Я уже писал, что для того, чтобы непротиворечиво ввести $\frac{1}{0}$, надо отказаться от свойства дистрибутивности ($a(b+c) = ab + ac$). То есть как только мы такое число вводим, мы уже не имеем права раскрывать скобки без доказательства того, что все фигурирующие числа конечны. А раскрывать скобки надо очень часто. То есть нам все время придется отдельно рассматривать случай с обычными числами, и отдельно случай, когда фигурирует бесконечность. Никакого удобства я тут не вижу.

-- Вт окт 22, 2013 16:01:54 --

Linkey в сообщении #778546 писал(а):

Мне не хватает знаний, чтобы что-то противопоставить этому

Так возьмите, например, учебник Винберга "Курс алгебры" и почитайте.

[Linkey]

Xaositect в сообщении #778553 писал(а):

Я уже писал, что для того, чтобы непротиворечиво ввести $\frac{1}{0}$, надо отказаться от свойства дистрибутивности ($a(b+c) = ab + ac$). То есть как только мы такое число вводим, мы уже не имеем права раскрывать скобки без доказательства того, что все фигурирующие числа конечны. А раскрывать скобки надо очень часто. То есть нам все время придется отдельно рассматривать случай с обычными числами, и отдельно случай, когда фигурирует бесконечность. Никакого удобства я тут не вижу.

Я пока не научился набирать формулы, буду говорить $\text{АБ}$ – актуальная бесконечность. Её свойства: она одновременно и положительна и отрицательна, и по модулю больше обычной бесконечности.
Как я понимаю, всё это в принципе преодолимые трудности. Можно подумать, что конкретно могло бы дать использование $\text{АБ}$. Например, есть закон кулона $I=\frac{U}{R}$. В случае сверхпроводимости $R=0$, значит $I=\text{АБ}$?

[Xaositect]

Linkey в сообщении #778563 писал(а):

Её свойства: она одновременно и положительна и отрицательна

А это противоречит свойствам линейного порядка. Просто по определению терминов "положительный" и "отрицательный" такого быть не может.

Linkey в сообщении #778563 писал(а):

обычной бесконечности

Обычная бесконечность - это еще что за зверь?

Linkey в сообщении #778563 писал(а):

В случае сверхпроводимости R=0, значит I=АБ?

Ни в коем случае. Ток в случае сверхпроводимости имеет конечное значение, просто он не затухает при нулевом напряжении. Закон ома $U = IR$ выполняется.

[gris]

Linkey в сообщении #778563 писал(а):

есть закон кулона I=U/R.

Только не кулона, а кулома. Cool Ohm имеет свои границы применимости. Вы же не применяете обычное сложение скоростей, когда двигаетесь с околосветовой скоростью и выстреливаете при этом пучки нейтронов из глаз.

[Linkey]

Xaositect в сообщении #778568 писал(а):

А это противоречит свойствам линейного порядка. Просто по определению терминов "положительный" и "отрицательный" такого быть не может.

Значит, надо придумывать новые понятия.

Xaositect в сообщении #778568 писал(а):

Обычная бесконечность - это еще что за зверь?

Я не знаю, сколько бывает разных бесконечностей. Я имел в виду такую: в ряду $1+0.5+0.25+0.125$…(сумма ряда равна 2) бесконечное число членов.

Xaositect в сообщении #778568 писал(а):

Ни в коем случае. Ток в случае сверхпроводимости имеет конечное значение, просто он не затухает при нулевом напряжении. Закон ома $U = IR$ выполняется.

Конечное – потому что из-за флуктуаций в любом сверхпроводнике сопротивление всё-таки чуть больше нуля?

[provincialka]

Математика придумала много понятий для работы с бесконечностью. От самих значков $\infty, +\infty, -\infty$ до обобщенных функций (которые как бы равна бесконечности в одной точке).
Еще есть теория мощности для бесконечных множеств. То, которое привели вы, называется счетным, но есть и более мощные множества.
Много чего есть, только не ленись, учи.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #778576 писал(а):

Конечное – потому что из-за флуктуаций в любом сверхпроводнике сопротивление всё-таки чуть больше нуля?

Нет, сопротивление равно нулю. А ток - это заряд, протекающий через сечение проводника в единицу времени, он бесконечным быть не может.

Linkey в сообщении #778576 писал(а):

Я не знаю, сколько бывает разных бесконечностей. Я имел в виду такую: в ряду 1+0.5+0.25+0.125…(сумма ряда равна 2) бесконечное число членов.

Вы говорили что-то о модуле этой "обычной бесконечности". А что такое ее модуль?

Понимаете, у нас в математике не очень принято говорить о том, чему не можешь дать формальное определение. Например, если хочется обсуждать деление на нуль, то надо знать определение деления и нуля. Это общепринятые понятия, и если имеется в виду не то, что написано в учебниках, то надо предупредить. Словосочетание "обычная бесконечность" математик вообще вряд ли произнесет. Он может говорить о бесконечных множествах, бесконечных кардинальных числах, бесконечных пределах, бесконечно удаленных точках, потому что это все - общепринятые вещи, о которых его собеседники могут прочитать. Для того, чтобы начать говорить о какой-то "обычной бесконечности", надо сказать, что имеется в виду. Вот например, актуальную бесконечность Вы определили как частное от деления 1 на 0. Я Вам доказал, что в обычных действительных числах ее не существует, поэтому чтобы говорить о ней, нужно рассматривать другую структуру, где не выполняется закон дистрибутивности. Теперь мы можем дальше о ней говорить.

[Neos]

Linkey в сообщении #778546 писал(а):

Вы можете доказать, что использование актуальной бесконечности не может быть использовано практически?

Как только произносится фраза "натуральный ряд", "плоскость" - уже практически используется понятие "актуальная бесконечность", как денежная купюра, или носовой платок По-моему, даже очень практически.