2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение20.10.2013, 20:47 


21/07/11
105
Что-то я встрял...
Вот получилась такая матрица после удаления 2-ой строки. Решил попытаться избавиться хоть от одного столбца, однако не получается подобрать вероятности..
$ \begin{bmatrix}5,4 & 5,3 & 1,5 & 2,1 & 4,2 \\\ 3,2 & 2,1 & 7,0 & 3,5 & 6,3 \\\ 4,2 & 8,4 & 3,3 & 1,4 & 3,6\end{bmatrix} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение20.10.2013, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вот принципиально не буду искать. Запишите через неизвестные, как я раньше говорила, и решайте систему неравенств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение21.10.2013, 21:56 


21/07/11
105
Собственно, вот до чего дошел
$ \begin{bmatrix}5,4 & 5,3 & 1,5 & 2,1 & 4,2 \\\ 3,2 & 2,1 & 7,0 & 3,5 & 6,3 \\\ 4,2 & 8,4 & 3,3 & 1,4 & 3,6\end{bmatrix} $
Смесь третьей и пятой стратегий второго игрока доминируют вторую: $  \frac{1}{3} t_{3} +  \frac{2}{3}  t_{5}  \succ  t_{2}  $
Получается такая матрица:
$ \begin{bmatrix}5,4 & 1,5 & 2,1 & 4,2 \\\ 3,2  & 7,0 & 3,5 & 6,3 \\\ 4,2  & 3,3 & 1,4 & 3,6\end{bmatrix} $
Здесь смесь первой и третьей стратегий первого игрока доминируют четвертую (тут 4-ая стратерия первого игрока - это 3-ий столбец): $  \frac{2}{3} s_{1} +  \frac{1}{3}  s_{3}  \succ  s_{4}  $
Получается матрица:
$ \begin{bmatrix}5,4 & 1,5 & 2,1 & 4,2 \\\ 3,2  & 7,0 & 3,5 & 6,3 \end{bmatrix} $

-- 21.10.2013, 23:22 --

Далее методом "стакана" нахожу единственное равновеси нэша в смешанных стратегиях:
$ (\frac{1}{3} s_{1} +  \frac{2}{3}  s_{3} ;   \frac{2}{3} t_{1} +  \frac{1}{3}  t_{3}   ) $

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение21.10.2013, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вот и хорошо. А вы проверили для исходной матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение21.10.2013, 23:15 


21/07/11
105
Не проверял... Что-то даже не соображу, что сделать то нужно для этого..

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение22.10.2013, 00:21 


21/07/11
105
Как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение22.10.2013, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Скомбинируйте с теми же коэффициентами не "урезанные" строки/столбцы, а исходные. Посмотрите, сколько получит каждый в худшем случае.

-- 22.10.2013, 00:44 --

Вообще мне не очень понятно, что дадут смешанные стратегии, если есть равновесие в чистых, да еще единственное. По-моему ваши смешанные стратегии "не дотягивают" до выигрышей $(3;5)$, даваемых чистыми стратегиями.

А что такое "метод стакана"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение22.10.2013, 00:45 


21/07/11
105
Да я понял, что нужно проверить на исходно матрице. Вот только не понял что конкретно проверять.
Вот, допустим, рассматриваю первого игрока. Для него комбинация даст следующую строку выигрышей в зависимости от комбинаций второго игрока:
$(  \frac{11}{3} ;  \frac{9}{3} ;  \frac{15}{3} ;  \frac{8}{3}  ;  \frac{16}{3}   )$
Ииии? Т.е. как бы эта строка не доминирует ни одну другую в матрице...

------------
Смешанные стратегии тоже дадут равновесие Нэша.
В итоге в игре будет несколько равновесий - одно, полученное из чистых и то, что получилось из рассмотрения смешанных стратегий
------------
Метод "стакана" - геометрический метод решения задач на нахождение смешанных стратегий (да и вообще любых) в игре с матрицей 2Хm
Представьте себе 1-ую четверть Координатной сетки в R2. Абсцисса - распределение вероятности оп стратегиям первого игрока. По ординате - выигрыш второго игрока. Еще нарисуйте луч - абсцисса равна 1 (т.е. вероятность равна 1) и поотмечайте выигрыш второго игрока. Далее берется просто рассматривается та ломанная, которая лежит выше всего и на ней надо искать равновесия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение22.10.2013, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, наверное, из этой строки надо скомбинировать одно число, используя вероятности второго игрока. Получим $\frac{11}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac83\cdot\frac13=\frac{10}{3}>3$, то есть больше того, что дают чистые стратегии.

Так же проверьте для второго игрока.

Кстати, у вас нумерация неправильная, надо не $t_3$, а $t_4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение22.10.2013, 01:00 


21/07/11
105
да нет, "стакан" дал смешанную стратегию второго игрока, состоящую из первой и третьей

-------
$\frac{11}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac83\cdot\frac13=\frac{10}{3}>3$ - вот тройка, она откуда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение22.10.2013, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Да? Ну, еще лучше. Тогда вместо $\frac83$ будет $\frac{15}{3}$, третий элемент строки.
А тройка - это из равновесной ситуации в чистых стратегиях. Так, для самоконтроля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие здесь есть равновесия?
Сообщение22.10.2013, 01:21 


21/07/11
105
А, понял.
Тогда, если рассматривать столбец, полученный смешиванием стратегий, то получится следующий:
$(  \frac{16}{3} ;  \frac{15}{3} ;  \frac{17}{3} ;  \frac{19}{3}  )$
И аналогичные самые рассчеты показывают, что выигрыш лучше, чем в равновесных ($>5$)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group