Какие здесь есть равновесия?

[hello19]

Что-то я встрял...
Вот получилась такая матрица после удаления 2-ой строки. Решил попытаться избавиться хоть от одного столбца, однако не получается подобрать вероятности..
$ \begin{bmatrix}5,4 & 5,3 & 1,5 & 2,1 & 4,2 \\\ 3,2 & 2,1 & 7,0 & 3,5 & 6,3 \\\ 4,2 & 8,4 & 3,3 & 1,4 & 3,6\end{bmatrix} $

[provincialka]

Вот принципиально не буду искать. Запишите через неизвестные, как я раньше говорила, и решайте систему неравенств.

[hello19]

Собственно, вот до чего дошел
$ \begin{bmatrix}5,4 & 5,3 & 1,5 & 2,1 & 4,2 \\\ 3,2 & 2,1 & 7,0 & 3,5 & 6,3 \\\ 4,2 & 8,4 & 3,3 & 1,4 & 3,6\end{bmatrix} $
Смесь третьей и пятой стратегий второго игрока доминируют вторую: $ \frac{1}{3} t_{3} + \frac{2}{3} t_{5} \succ t_{2} $
Получается такая матрица:
$ \begin{bmatrix}5,4 & 1,5 & 2,1 & 4,2 \\\ 3,2 & 7,0 & 3,5 & 6,3 \\\ 4,2 & 3,3 & 1,4 & 3,6\end{bmatrix} $
Здесь смесь первой и третьей стратегий первого игрока доминируют четвертую (тут 4-ая стратерия первого игрока - это 3-ий столбец): $ \frac{2}{3} s_{1} + \frac{1}{3} s_{3} \succ s_{4} $
Получается матрица:
$ \begin{bmatrix}5,4 & 1,5 & 2,1 & 4,2 \\\ 3,2 & 7,0 & 3,5 & 6,3 \end{bmatrix} $

-- 21.10.2013, 23:22 --

Далее методом "стакана" нахожу единственное равновеси нэша в смешанных стратегиях:
$ (\frac{1}{3} s_{1} + \frac{2}{3} s_{3} ; \frac{2}{3} t_{1} + \frac{1}{3} t_{3} ) $

[provincialka]

Вот и хорошо. А вы проверили для исходной матрицы?

[hello19]

Не проверял... Что-то даже не соображу, что сделать то нужно для этого..

[hello19]

Как это сделать?

[provincialka]

Скомбинируйте с теми же коэффициентами не "урезанные" строки/столбцы, а исходные. Посмотрите, сколько получит каждый в худшем случае.

-- 22.10.2013, 00:44 --

Вообще мне не очень понятно, что дадут смешанные стратегии, если есть равновесие в чистых, да еще единственное. По-моему ваши смешанные стратегии "не дотягивают" до выигрышей $(3;5)$, даваемых чистыми стратегиями.

А что такое "метод стакана"?

[hello19]

Да я понял, что нужно проверить на исходно матрице. Вот только не понял что конкретно проверять.
Вот, допустим, рассматриваю первого игрока. Для него комбинация даст следующую строку выигрышей в зависимости от комбинаций второго игрока:
$( \frac{11}{3} ; \frac{9}{3} ; \frac{15}{3} ; \frac{8}{3} ; \frac{16}{3} )$
Ииии? Т.е. как бы эта строка не доминирует ни одну другую в матрице...

------------
Смешанные стратегии тоже дадут равновесие Нэша.
В итоге в игре будет несколько равновесий - одно, полученное из чистых и то, что получилось из рассмотрения смешанных стратегий
------------
Метод "стакана" - геометрический метод решения задач на нахождение смешанных стратегий (да и вообще любых) в игре с матрицей 2Хm
Представьте себе 1-ую четверть Координатной сетки в R2. Абсцисса - распределение вероятности оп стратегиям первого игрока. По ординате - выигрыш второго игрока. Еще нарисуйте луч - абсцисса равна 1 (т.е. вероятность равна 1) и поотмечайте выигрыш второго игрока. Далее берется просто рассматривается та ломанная, которая лежит выше всего и на ней надо искать равновесия.

[provincialka]

Ну, наверное, из этой строки надо скомбинировать одно число, используя вероятности второго игрока. Получим $\frac{11}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac83\cdot\frac13=\frac{10}{3}>3$, то есть больше того, что дают чистые стратегии.

Так же проверьте для второго игрока.

Кстати, у вас нумерация неправильная, надо не $t_3$, а $t_4$.

[hello19]

да нет, "стакан" дал смешанную стратегию второго игрока, состоящую из первой и третьей

-------
$\frac{11}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac83\cdot\frac13=\frac{10}{3}>3$ - вот тройка, она откуда?

[provincialka]

Да? Ну, еще лучше. Тогда вместо $\frac83$ будет $\frac{15}{3}$, третий элемент строки.
А тройка - это из равновесной ситуации в чистых стратегиях. Так, для самоконтроля.

[hello19]

А, понял.
Тогда, если рассматривать столбец, полученный смешиванием стратегий, то получится следующий:
$( \frac{16}{3} ; \frac{15}{3} ; \frac{17}{3} ; \frac{19}{3} )$
И аналогичные самые рассчеты показывают, что выигрыш лучше, чем в равновесных ($>5$)