Равенство на inf (Демидович, N 19)

[matematikFromMati]

Помогите доказать inf{x+y}=inf{x}+inf{y}

[PAV]

Условие должно быть сформулировано более аккуратно. Что такое x и y?
Если это две последовательности, то утверждение неверно.
Например, x = -1, 1, -1, 1, .... а у = 1, -1, 1, -1,...

Тогда inf{x} = inf{y} = -1, но x+y = 0, 0, 0, ... и inf{x+y} = 0

[matematikFromMati]

{x},{y} - множества, а {x+y}- множество всех сумм x+y , где x принадлежит {x} ,
а y принадлежит {y}.

[Dan_Te]

Доказывается по определению. Докажем, что для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $z\in X+Y$, что $\inf X+\inf Y\leqslant z<\inf X+\inf Y +\varepsilon$. Для этого надо найти в Х и Y элементы, достаточно близко лежащие к соответствующим инфимумам (это можно сделать по определению инфимума) и взять z равным их сумме.
Формальное доказательство (аккуратный выбор элементов из Х и Y) оставляем читателю =))

[PAV]

Обозначим t = inf{x}+inf{y}.

Очевидно, что inf{x+y} не может быть меньше, чем t.

Чтобы показать, что мы можем получить значение, сколь угодно близкое к t, мы зададимся произвольным e>0. Пользуясь определением inf,
выберем в множестве x элемент X < inf{x}+(e/2)
аналогично выбираем в множестве y элемент Y < inf{y}+(e/2)

их сумма дает X+Y < t+e

-----------------------------------
(Dan_Te меня опередил

[matematikFromMati]

Спасибо.

[zkutch]

может быть стоит внести куда-нибудь в заголовок, для будущих нуждающих, что это пример под номером 19. а) из Демидовича