2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Равенство на inf (Демидович, N 19)
Сообщение21.01.2006, 22:02 
Помогите доказать inf{x+y}=inf{x}+inf{y}

 
 
 
 
Сообщение21.01.2006, 22:36 
Аватара пользователя
Условие должно быть сформулировано более аккуратно. Что такое x и y?
Если это две последовательности, то утверждение неверно.
Например, x = -1, 1, -1, 1, .... а у = 1, -1, 1, -1,...

Тогда inf{x} = inf{y} = -1, но x+y = 0, 0, 0, ... и inf{x+y} = 0

 
 
 
 
Сообщение21.01.2006, 22:43 
{x},{y} - множества, а {x+y}- множество всех сумм x+y , где x принадлежит {x} ,
а y принадлежит {y}.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2006, 23:13 
Доказывается по определению. Докажем, что для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $z\in X+Y$, что $\inf X+\inf Y\leqslant z<\inf X+\inf Y +\varepsilon$. Для этого надо найти в Х и Y элементы, достаточно близко лежащие к соответствующим инфимумам (это можно сделать по определению инфимума) и взять z равным их сумме.
Формальное доказательство (аккуратный выбор элементов из Х и Y) оставляем читателю =))

 
 
 
 
Сообщение21.01.2006, 23:14 
Аватара пользователя
Обозначим t = inf{x}+inf{y}.

Очевидно, что inf{x+y} не может быть меньше, чем t.

Чтобы показать, что мы можем получить значение, сколь угодно близкое к t, мы зададимся произвольным e>0. Пользуясь определением inf,
выберем в множестве x элемент X < inf{x}+(e/2)
аналогично выбираем в множестве y элемент Y < inf{y}+(e/2)

их сумма дает X+Y < t+e

-----------------------------------
(Dan_Te меня опередил :)

 
 
 
 
Сообщение21.01.2006, 23:47 
Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2006, 21:21 
может быть стоит внести куда-нибудь в заголовок, для будущих нуждающих, что это пример под номером 19. а) из Демидовича

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group