Функция с минимальной $n+1$-й производной

[Nimza]

Пусть $\{ f \}$ --- множество $n+1$ раз дифференцируемых действительных функций на отрезке $[0,R]$, $R>0$, таких, что $f^{(k)}(0) = f^{(k)}(R) = 0$, $k=1,\ldots,n$, $f(0) = 1$, $f(R)=0$. Каким способом можно действовать, чтобы найти минимальное значение $\|f^{(n+1)}\| = \max\limits_{x \in [0,R]} |f^{(n+1)}(x)|$ по функциям из класса $\{f\}$? Интересует порядок этой величины по $R$. Вряд ли полином, построенный по указанным выше равенствам даст минимальное значение, по крайней мере, не очевидно, откуда бы это следовало. Может быть, можно как-то просто оценить порядок этой величины, не находя её точно?

[ИСН]

Порядок этой величины по $R$ будет $1\over R^{n+1}$. Ведь на всех отрезках экстремум реализует одна и та же функция, только растянутая во сколько надо раз.

[Nimza]

Действительно. Крутое соображение, спасибо.

[Sender]

Кстати, если вспомнить про ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, функцию $f(x)$ можно представить на отрезке $[0,R]$ в виде $f(x)=1+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\theta x), 0<\theta<1$, откуда непосредственно следует, что $\|f^{(n+1)}\|\geqslant \frac{(n+1)!}{R^{n+1}}$. Осталось понять, достигается ли это значение на какой-нибудь функции из $\{f\}$.

[Sender]

Пока ничего лучше, чем склейка из двух полиномов, придумать не удаётся:

$$f(x)=\begin{cases}1-2^n(\frac{x}{R}) ^{n+1}, 0 \leqslant x < \frac{R}{2}; \\ 2^n(1-\frac{x}{R}) ^{n+1}, \frac{R}{2} \leqslant x \leqslant R. \end{cases}$$

Для такой функции $\|f^{(n+1)}\|=2^n\frac{(n+1)!}{R^{n+1}}$.