Неинтегрируемость по Лебегу

[xenich]

В Колмогорове-Фомине (гл.5, пар. 6, п. 7) есть такая запись:

Несобственный интеграл
$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x) dx$
в случае, когда
$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} |f(x)| dx=\infty$,
не существует в лебеговом смысле, поскольку, из суммируемости функции $f(x)$ следует что и функция $|f(x)|$ тоже суммируема.

Вопрос: на каком основании из несуществования интеграла Римана здесь делается вывод о несуществовании интеграла Лебега? Или я чего-то не понимаю.
И более общий вопрос: как вообще доказать неинтегрируемость неограниченной функции по Лебегу, например функции $f(x)=1/x$ на $(0;1]$ .

[mihailm]

пусть интеграл Лебега равен чему-то, берем соответствующий промежуток на котором интеграл больше этого чего-то - противоречие

[SpBTimes]

Суммируемость по Лебегу определяется для функции постоянного знака. Для функции произвольного знака, как суммируемость $f_{+}$ и $f_{-}$, так, что $f = f_{+} - f_{-}$.
Сходимость условная - это сходимость в том случае, когда интегралы от функций $f_{+}$ и $f_{-}$ расходятся. Так что...