2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неинтегрируемость по Лебегу
Сообщение19.10.2013, 18:50 
В Колмогорове-Фомине (гл.5, пар. 6, п. 7) есть такая запись:

Несобственный интеграл
$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x) dx$
в случае, когда
$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} |f(x)| dx=\infty$,
не существует в лебеговом смысле, поскольку, из суммируемости функции $f(x)$ следует что и функция $|f(x)|$ тоже суммируема.

Вопрос: на каком основании из несуществования интеграла Римана здесь делается вывод о несуществовании интеграла Лебега? Или я чего-то не понимаю.
И более общий вопрос: как вообще доказать неинтегрируемость неограниченной функции по Лебегу, например функции $f(x)=1/x$ на $(0;1]$ .

 
 
 
 Re: Неинтегрируемость по Лебегу
Сообщение19.10.2013, 18:56 
пусть интеграл Лебега равен чему-то, берем соответствующий промежуток на котором интеграл больше этого чего-то - противоречие

 
 
 
 Re: Неинтегрируемость по Лебегу
Сообщение19.10.2013, 19:17 
Аватара пользователя
Суммируемость по Лебегу определяется для функции постоянного знака. Для функции произвольного знака, как суммируемость $f_{+}$ и $f_{-}$, так, что $f = f_{+} - f_{-}$.
Сходимость условная - это сходимость в том случае, когда интегралы от функций $f_{+}$ и $f_{-}$ расходятся. Так что...

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group