Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.1.4)

[ewert]

Otta в сообщении #776235 писал(а):

Что в моих рассуждениях не так?

Всё так, это у меня была какая-то странная аберрация -- зачем-то забыл про нормальное ускорение. Впрочем, в первом пункте задачи его и нет. А вот во втором пункте надо, наоборот, учитывать только его, т.е. $\dfrac{v^2}{R}\sin\alpha=2g(f(H)-f(x))\cdot\dfrac{f''}{\left(1+{f'}^2\right)^{3/2}}\cdot\dfrac{f'}{\sqrt{1+{f'}^2}}$, что для параболы сводится к максимизации $\dfrac{x(H^2-x^2)}{(1+4x^2)^2}$. Если не ошибаюсь (грубо прикидывал), то при $H\to\infty$ получается $x_{\max}\to\dfrac1{\sqrt{12}}$.

[Otta]

Ага, спасибо. Я тогда еще посмотрю, а то уже подумала, что ум за разум зашел.

Кстати, выше у меня опечатка на почве редактирования. Имелся в виду не радиус кривизны, а кривизна нулевая, конечно.

[Otta]

Urnwestek
В общем, та Ваша первая идея с дифференцированием, как мне кажется, вполне годится.
Единственно, что нуждается в коррекции - дифференцировать надо по $t$, конечно. Но это легко исправить:
$\vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{d\vec v}{dx}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{v}{\sqrt{1+f'^2}}\dfrac{d\vec v}{dx}$, где $v^2$ - квадрат величины скорости, то есть $v^2=2g(H-f(x))$.
Последнюю производную Вы считали, я, признаться, не проверяла, мне проще самой пересчитать. В общем, всего получилось

$$\vec a=\left(-\frac{gf'}{1+f'^2}-\frac{v^2f'f''}{(1+f'^2)^2},-\frac{gf'^2}{1+f'^2}+\frac{v^2f''}{(1+f'^2)^2}\right).$$

Этот результат, фактически, дает известное разложение ускорения на тангенциальную и нормальную составляющие.

Вторая задача, разумеется, частный случай этой. Если все аккуратно подставить, то получается, что горизонтальная составляющая ускорения максимальна в точке $x=1/\sqrt{12}$. Кажется совершенно удивительным факт, что эта точка не зависит от начальной (большой) высоты спуска.

[Urnwestek]

Понятно, спасибо. Но я в ваших выкладках не понял, откуда вы нашли $\frac{dx}{dt}$?

[Otta]

А вектор скорости чему равен?

[Urnwestek]

$\frac{dx}{dt}$ и одновременно $(\frac{\sqrt{2gf}}{\sqrt{1+f'^2}},f'\frac{\sqrt{2gf}}{\sqrt{1+f'^2}})$ точно же!

[Otta]

Ну да. Только не сам вектор равен $dx/dt$, а его первая компонента.
$\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}=(\dot x, \dot y)$.

[Urnwestek]

Подставил $x^2$, взял производную и приравнял к нулю, всё получилось, спасибо, Otta.