Первый замечательный предел.

[chesas]

Добрый вечер.
У меня очень простой вопрос. Что будет с первым замечательным пределом, если переменная стремится не к нулю, а к бесконечности? Ведь в этом случае числитель, на мой взгляд, не существует. Или я не прав? Очень прошу, ОТЗОВИТЕСЬ! Буду очень благодарен, если Вы укажете место, где можно об этом почитать.

[Urnwestek]

Цитата:

Буду очень благодарен, если Вы укажете место, где можно об этом почитать.

Где-то в районе теоремы о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.

[provincialka]

Что значит "числитель не существует"? Вы имеете в виду - не имеет предела? Не имеет.

А какие теоремы о существовании предела вы знаете?

[chesas]

provincialka в сообщении #776644 писал(а):

Что значит "числитель не существует"? Вы имеете в виду - не имеет предела? Не имеет.

Наверное, не так выразился. Я не могу себе представить чему будет равен синус угла, который стремится к бесконечности... Что значит угол стремится к бесконечности. Ведь максимальный угол это 360 градусов, не так ли? Дальше он просто будет "гулять" по кругу. И где предел???

[provincialka]

Функция синус берется не от угла, а от произвольного вещественного числа. Но, конечно, она будет "гулять по кругу" в том смысле, что она периодическая. График синуса видели?

(Оффтоп)

И синуса график волна за волной по оси абсцисс убегает...

. У этой функции нет предела на бесконечности.

[Limit79]

chesas в сообщении #776642 писал(а):

Что будет с первым замечательным пределом, если переменная стремится не к нулю, а к бесконечности?

$-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$

[chesas]

Это-то понятно. Интересует
$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\sin\alpha}{\alpha}$ ???

[iifat]

Интересует — это здорово! И? Ну, берём $\frac{\sin1000}{1000}$. Чему равно? А $\frac{\sin1000000}{1000000}$? Тенденция не просматривается?

[chesas]

Во всяком случае точно
$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\sin\alpha}{\alpha}\ne1$

-- 18.10.2013, 21:08 --

Urnwestek
Где-то в районе теоремы о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.
А разве такая есть? Если всё же есть, то хотя бы в каком разделе математики?

[iifat]

Боюсь, замаетесь выписывать все действительные числа, которым не равен указанный предел. Я мог бы подсказать, что и $\sqrt2$ он тоже не равен. Но не стану — запрещено правилами. Только наводящие вопросы. Кои вы игнорируете.

[teddybrooks]

chesas в сообщении #776958 писал(а):

Во всяком случае точно
$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\sin\alpha}{\alpha}\ne1$

-- 18.10.2013, 21:08 --

Urnwestek
Где-то в районе теоремы о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.
А разве такая есть? Если всё же есть, то хотя бы в каком разделе математики?

Обычно ее проходят в 1 семестре мат. анализа. Но сами подумайте - у вас есть последовательность которая может принимать сколь угодно малые значения и последовательность, значения которой по модулю меньше некоторой константы, в нашем случае - единицы. Что интуитивно можно сказать про их произведение?

[iifat]

Не

teddybrooks в сообщении #776970 писал(а):

может принимать сколь угодно малые значения

а стремится к нулю. Это немножко разные высказывания.

[chesas]

Нет, что Вы, я не игнорирую. Понятно что данный предел равен нулю.
Вообще-то у меня следующий пример.
Исследовать на сходимость ряд
$\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin^2{n\sqrt{n}}}{n\sqrt{n}}=0$
И следовательно, выполняется лишь необходимое условие схождения, а хотелось бы что бы оно было ДОСТАТОЧНЫМ.

[iifat]

При чём тут $=0$? Сумма явно нулю не равна. Если вы хотели сказать, что член ряда стремится к нулю, лучше было так и сказать. Разумеется, стремления к нулю недостаточно. Надо достаточно быстро к нему стремиться. Попробуйте слегка увеличить его, чтобы он стал попроще, но таки стремился к нулю. Что, например, получится?

[chesas]

Извиняюсь, за постоянное запаздывание — формулы слабовато набираю, надеюсь, что пока...
$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2{n\sqrt{n}}}{n\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^\infty{\sin^2{n\sqrt{n}}}\,\cdot\frac1{n\sqrt{n}}=0$
как произведение ограниченной функции на бесконечно малую.