Вопрос про обратную матрицу и еще 2 вопроса

[boriska]

1) Почему в результате элементарных преобразований $(A|E)\to (E|B)$ мы получим матрицу $B$, которая является обратной к $A$, откуда это следует?
2) Под символом $\infty$ подразумевается $+\infty$?
3) $\dfrac{1}{0}=\infty$?

[provincialka]

2) Нет
3) В некотором смысле, да (при вычислении пределов, а так-то не ноль делить нельзя).

[ewert]

boriska в сообщении #776104 писал(а):

1) Почему в результате элементарных преобразований $(A|E)\to (E|B)$ мы получим матрицу $B$, которая является обратной к $A$, откуда это следует?

Потому, что умножение матриц производится по правилу "строка на столбец" и, соответственно, каждый столбец результата определяется только соответствующим столбцом второго сомножителя. Поэтому решение матричного уравнения вида $A\cdot X=B$ сводится к независящим друг от друга решениям систем уравнений для каждого из столбцов $B$, порождающим соответствующие столбцы $X$. Причём все эти системы можно решать методом Гаусса одновременно (поскольку последовательность операций определяется только матрицей $A$, но никак не правыми частями). Между тем нахождение обратной матрицы -- это в точности решение матричного уравнения $A\cdot X=E$.

[Urnwestek]

1) Каждое элементарное преобразование можно представить матрицей, композиция элементарных преобразовнии — это произведение матриц, например $X$. Получаем: $XA = E \to A = X^{-1}$, отсюда видно, что $XE=X$ обратная матрица, так как $AX = X^{-1}X = E $
2) Нет
3) В вещественных числах — выражение не имеет смысла (элемента $\infty$ там нету), на проективной вещественной прямой — да. Если обозначать под 1 — функцию стремящуюся к 1, под 0 — бесконечно малую функцию, а под $\infty$ — бесконечно большую функцию, то тоже да.

[Утундрий]

2) Первое - на сфере, второе - на линии.

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #776130 писал(а):

2) Первое - на сфере, второе - на линии.

на линии тоже бывает просто бесконечность

Urnwestek в сообщении #776127 писал(а):

на проективной вещественной прямой — да.

тоже нет

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #776134 писал(а):

на линии тоже бывает просто бесконечность

Поподrобнее?

[Urnwestek]

(Оффтоп)

Цитата:

тоже нет

Я понимаю, что википедия не источник, но http://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_line . Да и почему нет-то? Вроде ведь один из способов задания проективной прямой — это и есть "фактор" множества непрерывных в $a$ функций, по их значению предела.

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #776135 писал(а):

Поподrобнее?

А чем в этом смысле линия отличается от плоскости?... или, если угодно, сфера от окружности?...

-- Ср окт 16, 2013 23:17:52 --

(Оффтоп)

Urnwestek в сообщении #776136 писал(а):

это и есть "фактор" множества непрерывных в $a$ функций, по их значению предела.

Фактор не фактор, а для бесконечно удалённых точек арифметика (и, в частности, деление) не определена как класс. Определена лишь топология. Точка.

[Urnwestek]

Онтопик, кстати же.

ewert в сообщении #776137 писал(а):

Фактор не фактор, а для бесконечно удалённых точек арифметика (и, в частности, деление) не определена как класс. Определена лишь топология. Точка.

Что такое "арифметика как класс"? В чём проблема доопределить операции по непрерывности?

[Утундрий]

ewert в сообщении #776137 писал(а):

чем в этом смысле линия отличается от плоскости?... или, если угодно, сфера от окружности?...

Тут смотря в чём смысл этого смысла. Я напираю на то, что оно конешно и там и там по точке выколото, но в случае кольца подходов к оной ровно два и их вполне себе принято именовать $+\infty$ да $-\infty$. На сфере же оных существенно многообразней, оттого и ограничиваются скупым $\infty$.

[ewert]

Urnwestek в сообщении #776143 писал(а):

В чём проблема доопределить операции по непрерывности?

В том, что если доопределять операции -- то буквально все, иначе это бессмысленное занятие. Вот и доопределяйте сумму по непрерывности, ну или хотя бы $0\cdot\infty$.

[provincialka]

Я студентам (1 курс) объясняю по-простому. В теме "расширенная прямая":
Если считать, что прямая - это "окружность бесконечного радиуса", то двигаясь хоть влево, хоть вправо, мы получим одну и ту же "точку" на расширенной прямой, которую и назовем просто $\infty$. Если же считать, что прямая - это "отрезок бесконечной длины" - то бесконечностей нужно две, $+\infty$ и $-\infty$. На их уровне знаний - достаточно.

[Urnwestek]

Цитата:

доопределять операции -- то буквально все, иначе это бессмысленное занятие

Почему бессмысленное? И "бессмысленное занятие" или "принципиально нельзя"? В вашем предыдущем посте мне показалось, что вы настаиваете на втором.

[ewert]

Urnwestek в сообщении #776152 писал(а):

Почему бессмысленное?

Потому. Что если определять именно операции -- то для всех элементов множества. Иначе это никакая не операция, а в лучшем случае некая теорема. Ну так и нужно честно формулировать теоремы, а не пудрить мозги.

Потом уже можно будет переходить на жаргон, и даже очень полезно переходить; важно лишь не забывать, что это -- не более чем жаргон.