1) Почему в результате элементарных преобразований

мы получим матрицу

, которая является обратной к

, откуда это следует?
Потому, что умножение матриц производится по правилу "строка на столбец" и, соответственно, каждый столбец результата определяется только соответствующим столбцом второго сомножителя. Поэтому решение матричного уравнения вида

сводится к независящим друг от друга решениям систем уравнений для каждого из столбцов

, порождающим соответствующие столбцы

. Причём все эти системы можно решать методом Гаусса одновременно (поскольку последовательность операций определяется только матрицей

, но никак не правыми частями). Между тем нахождение обратной матрицы -- это в точности решение матричного уравнения

.