Система нелинейных уравнений

[Baila]

Здравствуйте!
Не могли бы вы помочь мне с такой проблемой: можно ли как-то показать, что система уравнений

\left\{ \begin{array}{lc} 729x^2 - 63yz^4 + 7z^6 + 162y^2z^2 + 108xz^3 - 486xyz - 81y^3 = 0\\ 54xyz^2 + 486x^2z + 7yz^5 - 567xy^2 - 60y^2z^3 + 135zy^3 + 9xz^4 = 0 \end{array} \right.

верна только при x = y = z = 0? Или же есть какое-то другое решение?

Правда, насколько я помню, кто-то доказал, что системы нелинейных уравнений в общем случае решений не имеют, но ведь не все? Или же я ошибаюсь, и такого утверждения нет?

Заранее спасибо всем, кто откликнется.

[PAV]

Baila писал(а):

Или же я ошибаюсь, и такого утверждения нет?

Такого утверждения нет.

[Lion]

Как мне кажется, нулевое решение не единственно. Если попробовать подставить $x=0$, то получится система из двух уравнений с двумя неизвестными, которая в свою очередь сводится к уравнению на $z^2$...
Для таких целей лучше использовать технику, например, Matlab...

[незваный гость]

Если сделать замену $x \to p t^3 $, $y \to q t^2$, $z \to t$, то, вынеся соответствующую степень $t$ за скобки, получаем систему двух полиномиальных уравнений относительно $p$ и $q$. Она имеет решения, например, $p = 1/27, q = 1/3$, откеле решение исходной системы $x = t^3, y = 3 t^2, z = 3 t$ ($t$ — произвольный комплексный параметр).

Если, конечно, нигде не проврался…

[Baila]

Спасибо большое за ответы.

[незваный гость]

в соседней теме Alejandros писал(а):

незваный гость, если бы в той системе из двух уравнений, ссылку на которую я приводил выше, было бы ещё одно уравнение, в котором была бы переменная, например $v$, надо было бы заменить $v \to rt^4$ или всё зависит от уравнения, в которое бы $v$ входило?

Если бы было еще одно уравнение, то подстановка зависела бы от того, какое оно. Более того, предложенная подстановка могла бы ничего не упростить.

в соседней теме Alejandros писал(а):

И ещё, в той же теме набор $x = t^3, y = 3t^2, z = 3t$ полностью описывает все решения системы, или возможны другие? И вообще, как можно увидеть, что других решений не может быть?

Набор ‹…› предлагался как частное решение. Для ответа на заданный Baila вопрос этого было достаточно. Тем не менее, сделав выкладки, можно показать, что все решения исчерпываются этим набором. Выкладки не такие уж и сложные, попробуйте их проделать.

в соседней теме Alejandros писал(а):

И последний вопрос: если уравнение "почти" симметричеческое, то есть ему мешают быть симметрическим только коэффициенты при слагаемых (не знаю как грамотно объяснить), то уже нельзя пользоваться заменой $x \to x + y, y \to xy$? Например, уравнение $x^3 + xy + y^3$ - симметрическое, а $2x^3 + 5xy + 3y^3$ получается уже не симметрическое?

$2x^3+5 xy + 3y^3$ можно привести в симметрическому подстановкой $x_1 \to x \sqrt[3]{\frac12}$, $y_1 \to y \sqrt[3]{\frac13}$. Но вот $2x^3+5 xy + 3y^3 + x + y$ уже нельзя.

По определению, симметрический многочлен — это многочлен, не меняющийся от произвольной перестановки переменных, в него входящих. Поэтому коэффициенты при членах с равными степенями переменных должны быть равны. Например, должны быть равны коэффициенты при $x y^3 z^7$, $x^7 y^3 z$, $x^3 y^7 z$ и т.д,. причем если в уравнение входит один, должны входить и остальные.

[Alejandros]

незваный гость, можете написать про выкладки насчёт единственности поподробнее? Не сам выкладки, а просто подсказку, с чего начать...

[незваный гость]

С подстановки. После подстановки (мы можем считать, что $t$ не равно 0) уравнения можно разделить на $t^6$ и $t^7$, соответственно. (Конечно, случай $z=0$ следует разобрать отдельно, и убедиться, что при этом $x=y=0$, т.е. общая формула верна.)

У Вас получится два уравнения относительно $p$ и $q$, оба квадратные относительно $p$. Исключив $p^2$, получим линейное уравнение относительно $p$. Получим, что либо $q=\frac13$, либо $p=\frac{9q-2}{27}$. Подставляя оба варианта (по очереди) во второе уравнение, получаем, что обоих случаях $p=1/27, q = 1/3$ единственное решение (с точностью до кратности).

[Alejandros]

незваный гость, огромное вам спасибо за помощь, теперь всё стало гораздо понятнее.