Задача на различные урновые схемы

[enko]

Придумал простую задачу по классической тории вероятностей.

В магазине продается n разных сортов пирожных. Вовочка купил наудачу m пирожных. Какова вероятность того, что Вовочка купил набор из m пирожных первого сорта?

Мой ответ такой: $P=1/{ C^m_{n+m-1}} $
Но у меня возник спор, что вероятность равна $P=1/n^m $, так как якобы вероятность покупки 1-го пирожного 1-го сорта равна $1/n$ и следовательно вероятность покупки m пирожных 1-го сорта равна произведению вероятностей.

Я попытался привести доказательство от противного.

По Вашему вероятность покупки набора из M пирожных 1c. равна $1/n^m$ , тогда и вероятность покупки набора из (m-1) пирожных 1-го сорта и одного 2-го сорта, тоже равна $1/n^m$ , и вообще, вероятность покупки любого набора пирожных тоже равна $1/n^m$.
Как известно, вероятность суммы нересекающихся событий равна сумме вероятностей этих событий.
Вероятность покупки кагого-нибудь из всевозможных наборов равна сумме вероятностей покупки одного конкретного набора, т.е. по Вашему равна $(1/n^m)*C^m_{n+m-1}$, где $C^m_{n+m-1}$ -число всевозможных наборов, с другой стороны покупка кагого-нибудь из всевозможных наборов есть событие достоверное т.е. с вероятностью 1 (не с пустыми же руками Вовочка уйдет из магазина).
Отсюда получаем: $(1/n^m)*C^m_{n+m-1}=1$ => $(n^m)=C^m_{n+m-1}$ - противоречие.

Но и оно оказалось неубедительным. Я уже начинаю сомневаться в своей правоте.
Пожалуйста, рассудите. Может я придумал некорректную формулировку задачи?

[Brukvalub]

enko писал(а):

Пожалуйста, рассудите. Может я придумал некорректную формулировку задачи?

Вы придумали некорректное решение. Вы считаете число пирожных каждого сорта бесконечным и различаете факты покупки первого пирожного, второго и т.п. Первый раз можно купить любое из n пирожных, второй раз - тоже любое из n, и т.д. Поскольку все акты покупки - независимы, то работает правило умножения возможностей, то есть при использованной Вами схеме подсчёта, общее число возможностей равно

\[n^m \]

, при чем здесь тогда $C^m_{n+m-1}$ ?

[незваный гость]

enko писал(а):

1-го сорта?

первого или одного?

Формулировка вполне конкретна. Некорректен Ваш метод подсчета возможностей. Перечислите все наборы: (например, три сорта, четыре пирожных:
АААА
АААБ
АААВ
АААГ
ААБА
ААББ
ААБВ
…

Вероятность каждного упорядоченного набора равна $1/{3^4}$.

Сколько раз будет встречаться набор, содержащий а А, б Б, в В? $\frac{({\text а}+{\text б}+{\text в})!}{{\text а}!{\text б}!{\text в}!}$. (Разумеется, а + б + в = 4.) То есть, для неупорядоченного набора (а, б, в) мы имеем вероятность $\frac{({\text а}+{\text б}+{\text в})!}{{\text а}!{\text б}!{\text в}!} \times \frac{1}{3^{{\text а}+{\text б}+{\text в}}}$.

Если же просуммировать по всем возможным комбинациям а, б, в, то мы получим ровно 1. Что вполне совпадает с нашим ожиданием полной вероятности.

[PAV]

Вы пытались решать задачу используя урновую схему неупорядоченную с повторениями. Вы правильно нашли общее число исходов при этом. Проблема только в том, что из четырех классических урновых схем эта - единственная, в которой исходы не равновероятны. Поэтому использовать классический способ подсчета вероятностей в ней нельзя. Почему они не равновероятны - Вам пояснил в своем посте незваный гость.

Именно поэтому в задачах с повторениями рекомендуется использовать упорядоченные наборы, они равновероятны.

[enko]

А если сформулировать так:
В кондитерской имеется семь видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал набор пирожных первого сорта.

[Brukvalub]

Ответ:

\[\frac{1}{{7^4 }} = \frac{1}{{2401}}\]

[enko]

Brukvalub писал(а):

Ответ:

\[\frac{1}{{7^4 }} = \frac{1}{{2401}}\]

Почему?
По-моему при этой формулировке ответ: $C^4_{10}$

[PAV]

Если Вы постулируете, что любой набор равновероятен, причем под "набором" имеется в виду именно неупорядоченный набор, тогда да, $C_{10}^4$ задает общее число равновероятных наборов.

Если я не ошибаюсь, то в статистической физике есть модели, в которых именно такие наборы постулируются равновероятными.

[Brukvalub]

enko писал(а):

По-моему при этой формулировке ответ: $C^4_{10}$

Этот ответ неверен при любом понимании задачи, если Вы, вдобавок ко всему остальному, все-таки не отказались от нормировки вероятности:

\[ 0 \le p \le 1\]

[enko]

Brukvalub писал(а):

enko писал(а):

По-моему при этой формулировке ответ: $C^4_{10}$

Этот ответ неверен при любом понимании задачи, если Вы, вдобавок ко всему остальному, все-таки не отказались от нормировки вероятности:

\[ 0 \le p \le 1\]

Извините это опечатка, естественно я имелл ввиду $1/C^4_{10}$
Я не понял, все-таки правильно или нет, или Вы имели ввиду только опечатку?