Геометрия. Подобие фигур.

[supermelon]

Проблема Не могу понять, что есть подобие фигур(в Евклидовой геометрии) в математическом смысле.
Допустим есть некоторая фигура $F$ и единица измерения $m$, чтобы получить фигуру $F_{1}$ подобную фигуре $F$, надо $mk$(где $k>0$ и будет коэффициентом подобия). То есть это по сути изменение масштаба. Но как показать это математически идей нет.

[Urnwestek]

Две фигуры называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее одну фигуру в другую. Преобразование подобия — это преобразование, сохраняющее отношение расстояний. Преобразование — это биективная функция $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ из плоскости в себя.

[Deggial]

supermelon, формулы и термы оформляйте $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
В случае неоформления тема будет перемещена в Карантин.

[supermelon]

Определение - это, конечно, замечательно, но его я знаю. Меня интересует сам алгоритм(если можно так выразится) получения подобной фигуры и не вида $f(F)=F_{1}$, где $f$ - преобразование подобия, $F$ - начальная фигура, а $F_{1}$ - искомая фигура.

Пожалуй, я не совсем корректно выразился про представление в математическом виде, меня интересует больше геометрический вид, а точнее алгоритм получения.

[Urnwestek]

Что вы понимаете под "геометрическим видом"? И, самое главное, что вы понимаете под "алгоритмом получения"? С помощью циркуля и линейки что ли?

[Sonic86]

Urnwestek в сообщении #775962 писал(а):

Что вы понимаете под "геометрическим видом"? И, самое главное, что вы понимаете под "алгоритмом получения"? С помощью циркуля и линейки что ли?

Может имеется ввиду получение $F_1$ из $F$ с помощью конечного числа (3-х или менее) движений и одной гомотетии. При необходимости, с точностью до автоморфизма фигур. Насколько я помню, подобие восстанавливается по 3-м неколлинеарным точкам. Надо только суметь понять по $F$ и $F_1$ какие точки куда переходят (например, окружность в окружность перегнать просто так немного затруднительно ). Возможно, это надо делать численно, либо отталкиваясь от класса фигур, в зависимости от того, как дано.

[supermelon]

Sonic86
Фигура произвольная.
Вот это именно я и хочу. Гомотетию в школе вообще не проходили, пошел читать про гомотетию, спасибо.

Прошу простить за математическую неграмотность. Так как в школе научили лишь решать ЕГЭ. Вот пробую устранить эту проблему своими силами.

[ewert]

supermelon в сообщении #775957 писал(а):

меня интересует больше геометрический вид, а точнее алгоритм получения.

Чтобы говорить о каком бы то ни было алгоритме, надо сначала поставить задачу: что в точности дано и что конкретно требуется получить. А ни то, ни другое пока не сформулировано.

[Sonic86]

supermelon в сообщении #775972 писал(а):

Фигура произвольная.

Как-то немного смущает это. Подумайте хотя бы над примером с окружностями. Мне лично не особо понятно, что такое "фигура".

supermelon в сообщении #775972 писал(а):

Гомотетию в школе вообще не проходили, пошел читать про гомотетию, спасибо.

Ааа, ну это просто преобразование $(x,y)\to (kx,ky), k=\operatorname{const}$. Я вот не знаю, насколько нам хорошо читали аналитическую геометрию (немного смущает то, что все не свелось к линейной алгебре), но там был такой результат: любое движение плоскости - это перенос, либо поворот, либо зеркальная симметрия, либо скользящая симметрия. Любое движение может быть разложено в композицию не более чем 3-х зеркальных симметрий. Это просто чтобы представляли себе, что там вообще есть.

Кстати, если задача программная, то Вам следует написать это явно.

[supermelon]

ewert в сообщении #775973 писал(а):

supermelon в сообщении #775957 писал(а):

меня интересует больше геометрический вид, а точнее алгоритм получения.

Чтобы говорить о каком бы то ни было алгоритме, надо сначала поставить задачу: что в точности дано и что конкретно требуется получить. А ни то, ни другое пока не сформулировано.

Задача так то об доказательстве того, что отношение подобия фигур есть отношение эквивалентности Но мне стало интересно, что такое подобные фигуры вообще и как их получить в Евклидовой геометрии без привязки к определенным фигурам.

[ewert]

supermelon в сообщении #775977 писал(а):

Задача так то об доказательстве того, что отношение подобия фигур есть отношение эквивалентности

Это сводится к доказательству того, что 1) тождественное преобразование есть подобие, 2) преобразование, обратное к подобию, есть подобие и 3) последовательное применение двух подобий есть подобие.

Причём если под преобразованием подобия понимается просто нечто изменяющее расстояния в определённое количество раз, то эти пункты доказывать не надо -- они верны по определению. Но тогда надо доказывать, что любое преобразование подобия распадается на некоторую комбинацию стандартных.

[supermelon]

ewert
Вот именно "некоторые комбинации стандартных" меня и интересовали

[ewert]

supermelon в сообщении #775986 писал(а):

Вот именно "некоторые комбинации стандартных" меня и интересовали

Т.е. что любое преобразование, изменяющее все расстояния в одно и то же количество раз, есть комбинация растяжения, сдвига, поворота и, возможно, отражения?

Ну это достаточно длинная история (хотя и не безумно).

[supermelon]

Спасибо и на этом я и так достаточно вышел за рамки задачи. Тем более это 100% есть в учебниках, так что постараюсь как-нибудь сам осилить.