твердое тело с неподвижной точкой

[Oleg Zubelevich]

Это задача из задачника Пятницкого (в книжке ответа к ней нет ).

Я бы еще предложил качественно исследовать движения данной системы и нарисовать фазовый портрет на уровне одного из первых интегралов, подобно, тому , как это сделано в случае Эйлера. Получается очень красиво

-- Пт окт 11, 2013 18:13:01 --

При шевелении вектора $a$ возникают симпатичные бифуркации

[Oleg Zubelevich]

На удивление богатая динамика в задаче

scwec может Вы придумаете представление типа Пуансо?

Уравнения Эйлера имеют вид

$$J_O\frac{\delta\overline \omega}{\delta t}+[\overline \omega,J_O\overline \omega]=[\overline a,\overline \omega]\qquad (**)$$

через $\delta$ обозначена производная вектора относительно системы координат жестко связанной с телом.

Очевиден интеграл кин. энергии $T=(J_O\overline \omega,\overline \omega)/2$.

Для получения второго первого интеграла рассмотрим теорему об изменении кин. момента:

$$\dot{\overline K}_O=[\overline a,\overline \omega],\quad \overline K_O=J_O\overline \omega\qquad (*)$$

и заметим, что

$$\dot{\overline a}=\frac{\delta\overline a}{\delta t}+[\overline\omega,\overline a]=[\overline\omega,\overline a].$$

Следовательно, вектор-функция $\overline K_O+\overline a$ является интегралом уравнений (*), а значит функция
$F=|\overline K_O+\overline a|^2$ является первым интегралом системы (**)

Далее мы будем работать в главных осях оператора инерции: $\quad J_0=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$.


Рассмотрим поверхность уровня интеграла энергии:

$$M_h=\{\overline\omega\mid T=h>0\}=\{\overline \omega=(\omega_i)\mid \sum_{k=1}^3\lambda_i\omega_i^2=2h\}$$

С точностью до перепараметризации времени, на уровне энергии $M_h$ система (**) является гамильтоновой с гамильтонианом $F$.

Найдем положения равновесия системы (**):

$$[\overline \omega,J_O\overline \omega]-[\overline a,\overline \omega]=0$$

Отсюда $(J_O-\lambda E)\overline \omega=-\overline a$.


1) Предположим, что ни одна компонента вектора $\overline a$ не обращается в 0. Тогда множество положений равновесия параметризуется параметром $\lambda$ следующим образом:

$$\omega_i=-\frac{a_i}{\lambda_i-\lambda},\quad \overline a=(a_i),\quad i=1,2,3,\quad \lambda\ne \lambda _i$$

Положениям равновесия , лежащим на многообразии $M_h$, соответствуют значения параметра $\lambda$, которые удовлетворяют уравнению

$$\sum_{k=1}^3\frac{\lambda_k a^2_k}{(\lambda-\lambda_k)^2}=2h.$$

При разных значениях константы $h$ уравнение может иметь разное количество решений, от 2 до 6. Тип положений равновесия устанавливается с помощью интеграла $F$.

2) Предположим, что только одна из компонент вектора $\overline a$ обращается в 0. Пусть, скажем $a_1=0$. Тогда $\lambda=\lambda_1$ и $\lambda_1\ne\lambda_2$ и $\lambda_1\ne \lambda_3$. Значение $\omega_1$ может быть любым;
$\omega_i=-a_i/(\lambda_i-\lambda_1),\quad i=2,3$
Либо: $\omega_1=0$ и $\omega_i=-a_i/(\lambda_i-\lambda),\quad i=2,3$

3) Пусть только две компоненты вектора $\overline a$ равны нулю.
.................................................................
4) Предположим $\overline a=0$ --обычный случай Эйлера.

[scwec]

Oleg Zubelevich, Вы ведь наверняка уже нарисовали соответствующую картинку с полодией и герполодией.
Показывайте.

[Oleg Zubelevich]

Честное слово, не рисовал. После того как я обнаружил, что при изменении $h$ два невырожденных положения равновесия (на многообразии $M_h$) могут ползти друг к другу, столкнуться и образовать вырожденное положение равновесия, мне как-то расхотелось.

[scwec]

Могу добавить, что задача об интегрировании указанных уравнений движения содержится у П. Аппеля т.2. глава ХХ № 27 Там же выписаны и два первых интеграла, найденных в данной теме. П. Аппель в саою очередь ссылается на оригинальную работу Вольтерра 1895 г.
Качественное исследование проводилось или нет - вопрос.

[Oleg Zubelevich]

Да, чего-то такого следовало ожидать.

В связи с этой задачей приходит в голову еще одна постановка. Рассмотрим твердое тело у которого неподвижной точкой является центр масс. Тело находится на поверхности Земли в поле кориолисовой силы из-за вращения Земли.

Если через $\overline\Omega$ обозначить угловую скорость врещения Земли, то
момент кориолисовой силы относительно центра масс вычисляется по формуле

$$\overline M_O=-2\sum m_i[\overline r_i,[\overline \Omega,\dot{\overline r}_i]]=-2\sum m_i[\overline r_i,[\overline \Omega,[\overline\omega,\overline r]]]=-2[A\overline \Omega,\overline\omega],$$

где $A\overline \Omega=w^2\overline\Omega-J_O\overline\Omega,\quad w^2=\sum m_ir_i^2.$

К уравнениям Эйлера теперь следует добавить

$$\dot{\overline\Omega}=\frac{\delta\overline\Omega}{\delta t}+[\overline\omega,\overline\Omega]=0$$

[Oleg Zubelevich]

Любопытно, что даже в случае однородного шара $J_O=I\cdot\mathrm{id}$ задача оказывается нетривиальной, хотя и интегрируемой.
Уравнения приобретают вид

$$\frac{\delta\overline \omega}{\delta t}=\gamma[\overline\Omega,\overline \omega],\quad \frac{\delta\overline\Omega}{\delta t}=-[\overline\omega,\overline\Omega],\quad\gamma=-2\Big(\frac{w^2}{I}-1\Big)$$

Имеется векторный первый интеграл $W=\frac{1}{\gamma}\overline\omega-\overline\Omega$. Поверхность уровня этого первого интеграла является трехмерной плоскостью в $\mathbb{R}^6\ni (\overline\omega,\overline\Omega)$.
Имеются еще два первых интеграла: $l^2=|\overline\omega|^2,\quad L^2=|\overline\Omega|^2$. Поверхности уровня которых являются цилиндрами. Эти цилиндры вырезают на уровне $W$ двумерные эллипсоиды.

[scwec]

Мне понравилось. А ведь ситуация внешне очень походит на случай Эйлера-Пуансо. Два квадратичных интеграла. Два эллипсоида, неподвижных в несущем теле и линии их пересечения (полодии), на которых лежит конец вектора угловой скорости. А дальше - полодии оказываются сложнее чем в классическом случае. Их проекции на главные плоскости не являются эллипсами или гиперболами, а представляют из себя кривые четвертого порядка. И когда фиксируется эллипсоид энергии, а эллипсоид момента изменяется, то стационарные вращения (вырожденные полодии) ищутся не так как в классическом случае. Возникает уравнение шестого порядка и вещественных корней у него 2 или 4 или 6. Ну, это все Вы написали, а у меня пересказ. Жаль, что это (особенно начало) уже подробнейшим образом изучено. И полодии для систем с гиростатами нарисованы и вычислены. И книжки написаны.
Не хочется изобретать заново. Хотя и является полезным делом. Да, и было предложение написать по этому поводу.

[Oleg Zubelevich]

Ну я на новизну ни коем образом не претендую, просто развлекаюсь. Однако, все оказывается проще гораздо, или Вы про самую первую задачу говорили?
Ведь если $\overline \Omega=\overline\omega/\gamma-W$ подставить в первое уравнение ,то мы получим

$$\frac{\delta\overline \omega}{\delta t}=-\gamma[W,\overline \omega]$$

-- линейная система с постоянными коэффициентами

[scwec]

Все, что написано мной - это по поводу первых двух Ваших сообщений.

[Oleg Zubelevich]

А тогда у меня пара вопросов. В связи с чем первая задача так подробно изучалась, ведь момент в правой части выглядит надуманным?

И что Вы скажете по поводу второй задачи, не в случае шара , а в общем случае , когда уравнения имеют вид

$$\frac{\delta\overline\Omega}{\delta t}=-[\overline\omega,\overline\Omega],\quad J_O\frac{\delta\overline \omega}{\delta t}+[\overline \omega,J_O\overline \omega]=-2[A\overline \Omega,\overline\omega],\quad A\overline \Omega=w^2\overline\Omega-J_O\overline\Omega,\quad w^2=\sum m_ir_i^2$$

[scwec]

По первому вопросу - эта штука называется гиростат. Внутри тела вращается ротор вокруг закрепленной оси.
По этому поводу за подробностями отсылаю к книжкам Борисов и Мамаев "Динамика твердого тела" 2001 стр. 151 и далее,
а также к Й. Виттенбург "Динамика систем твердых тел" 1980 раздел 4.7. под редакцией В.В. Румянцева.
По второму вопросу - не думал. Как надумаю чего - скажу.

[scwec]

Разглядел пока два первых интеграла. В Ваших обозначениях $L^2=|\bar {\Omega}|^2$ и $2T=(J_0\bar \omega,\bar \omega)$.
Должен быть аналог момента, но не вижу.

[scwec]

Замечание по поводу первой задачи.
Трехмерная система динамических уравнений Эйлера в данном случае является бигамильтоновой системой.
Действительно, на $\mathbb{R}^3$ с координатами $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ определим две скобки Пуассона. $\{\}_1$ и $\{\}_2$.
$1.$ $\{\omega_1,\omega_2\}_1=-\frac{\omega_3}{I_1{I_2}}$, $\{\omega_2,\omega_3\}_1=-\frac{\omega_1}{I_2{I_3}}$, $\{\omega_3,\omega_1\}_1=-\frac{\omega_2}{I_1{I_3}}$
$2.$ $\{\omega_1,\omega_2\}_2=\frac{\omega_3{I_3}+a_1}{I_1{I_2}}$, $\{\omega_2,\omega_3\}_2=\frac{\omega_1{I_1}+a_2}{I_2{I_3}}$, $\{\omega_3,\omega_1\}_2=\frac{\omega_2{I_2}+a_2}{I_1{I_3}}$
Уравнения Эйлера в гамильтоновой форме записываются так:
$1.$ $\dot \omega_i=\{\omega_i,F\}_1$, где $F=\frac{1}{2}[(I_1\omega_1+a_1)^2+(I_2\omega_2+a_2)^2+(I_3\omega_3+a_3)^2]$
$2.$ $\dot \omega_i=\{\omega_i,T\}_2$, где $T=\frac{1}{2}[I_1{\omega_1}^2+I_2{\omega_2}^2+I_3{\omega_3}^2]$
Аннулятор (функция Казимира) первой скобки Пуассона $T$, Аннулятор второй скобки Пуассона $F$.

[Oleg Zubelevich]

Красивое наблюдение. Интегрируемые системы всегда просты и красивы в анализе. На то они и интегрируемые