На удивление богатая динамика в задаче
scwec может Вы придумаете представление типа Пуансо?
Уравнения Эйлера имеют вид
![$$J_O\frac{\delta\overline \omega}{\delta t}+[\overline \omega,J_O\overline \omega]=[\overline a,\overline \omega]\qquad (**)$$ $$J_O\frac{\delta\overline \omega}{\delta t}+[\overline \omega,J_O\overline \omega]=[\overline a,\overline \omega]\qquad (**)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/8/a186a36b0da695c10d1f1578292bd43782.png)
через

обозначена производная вектора относительно системы координат жестко связанной с телом.
Очевиден интеграл кин. энергии

.
Для получения второго первого интеграла рассмотрим теорему об изменении кин. момента:
![$$\dot{\overline K}_O=[\overline a,\overline \omega],\quad \overline K_O=J_O\overline \omega\qquad (*)$$ $$\dot{\overline K}_O=[\overline a,\overline \omega],\quad \overline K_O=J_O\overline \omega\qquad (*)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/e/89ee8c95385dad71664ef36f0f1f710682.png)
и заметим, что
![$$\dot{\overline a}=\frac{\delta\overline a}{\delta t}+[\overline\omega,\overline a]=[\overline\omega,\overline a].$$ $$\dot{\overline a}=\frac{\delta\overline a}{\delta t}+[\overline\omega,\overline a]=[\overline\omega,\overline a].$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/f/36fca1e0b54271399b257c2df1b36b4282.png)
Следовательно, вектор-функция

является интегралом уравнений (*), а значит функция

является первым интегралом системы (**)
Далее мы будем работать в главных осях оператора инерции:

.
Рассмотрим поверхность уровня интеграла энергии:

С точностью до перепараметризации времени, на уровне энергии

система (**) является гамильтоновой с гамильтонианом

.
Найдем положения равновесия системы (**):
![$$[\overline \omega,J_O\overline \omega]-[\overline a,\overline \omega]=0$$ $$[\overline \omega,J_O\overline \omega]-[\overline a,\overline \omega]=0$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/1/f11347f2eb33b26fd3cf069a614ea1a782.png)
Отсюда

.
1) Предположим, что ни одна компонента вектора

не обращается в 0. Тогда множество положений равновесия параметризуется параметром

следующим образом:

Положениям равновесия , лежащим на многообразии

, соответствуют значения параметра

, которые удовлетворяют уравнению

При разных значениях константы

уравнение может иметь разное количество решений, от 2 до 6. Тип положений равновесия устанавливается с помощью интеграла

.
2) Предположим, что только одна из компонент вектора

обращается в 0. Пусть, скажем

. Тогда

и

и

. Значение

может быть любым;

Либо:

и

3) Пусть только две компоненты вектора

равны нулю.
.................................................................
4) Предположим

--обычный случай Эйлера.