Электрическое поле вокруг переменного магнитного поля

[Aldaris]

Уважаемые форумчане хотелось бы разобраться в следующем.

Для начала изложу картину того как я вижу электромагнитную индукцию, а потом собственно вопрос.
Я всегда представлял себе такую картину: каждый (плоский) элемент площади через который проходим (ортогонально) меняющееся магнитное поле порождает концентрические окружности электрического поля с центром в выбранном элементе площади. Если мы потом будем выбирать контур, вокруг магнитного поля , то мы получим среднее значение по контуру, но если мы хотим посмотреть на электрическое поле в конкретной точке то, мы выберем точку в пространстве, и сложим все поля (окружности), от всех элементарных площадей , и получим электрическое поле в выбранной точке. Мне важен именно расчет не среднего по контуру. Могу ли я так рассматривать электрическое вихревое поле?
Теперь к задаче. У меня есть генератор высокочастотного магнитного поля в замкнутом сердечнике. Я хочу померить электрическое поле создаваемое им, я наматываю на сердечник скажем пол метра провода замеряю напряжение на концах, делю на 0.5 и получаю среднюю напряженность вдоль намотки провода. Верно? Теперь вопрос, если я поднесу проводник, электрическое поле должно создать разность потенциалов на его концах, можно ли как нибудь измерить ее, не охватывая контуром сердечник. Или это принципиально невозможно? А может и нет тогда никакой разности потенциалов=). Может ее как-нибудь можно определить по пробному заряженному телу, или вообще никак и поле можно померить только по охватываемому контуру? Верно ли, что если на этом проводнике появляется напряжение, то поле совершает работа по переносу электронов, вдоль незамкнутого фрагмента проводника длиной L?

Спасибо.

[Munin]

Aldaris в сообщении #774912 писал(а):

Могу ли я так рассматривать электрическое вихревое поле?

Можете, с некоторыми уточнениями и "причёсыванием" (технически-математическим). Речь о том, как восстановить электрическое поле по известному ротору. Ответ даёт теорема Гельмгольца о разложении (произвольного векторного поля на безвихревое и соленоидальное).

Aldaris в сообщении #774912 писал(а):

А может и нет тогда никакой разности потенциалов=).

Вообще говоря, и нет. Представление об однозначной определённости такой величины, как разность потенциалов - из электростатики. В электродинамике ситуация сложнее.

В электростатике, достаточно одной функции - скалярного потенциала $\varphi,$ так что $\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi.$ Такой потенциал можно восстановить по электрическому полю с точностью до постоянного слагаемого (одно число). На это часто не обращают внимания.

В электродинамике, приходится вводить две функции: скалярный потенциал $\varphi$ и векторный потенциал $\mathbf{A}.$ Формула для электрического поля становится $\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$ (При этом, магнитное поле $\mathbf{B}=\operatorname{rot}\mathbf{A}.$) Здесь возникает гораздо более существенная неоднозначность: пару $(\varphi,\mathbf{A})$ можно восстановить по паре $(\mathbf{E},\mathbf{B})$ с точностью до слагаемого - произвольной функции, переменной по времени. В результате получается, что разность потенциалов $\varphi$ между двумя заданными точками может быть формально сделана какой угодно. При этом интеграл от электрического поля по заданному пути между точками - будет вполне определённой физической величиной (это ЭДС в неподвижном проводе вдоль такого пути). Зависящей от пути, кстати. Эта неоднозначность называется калибровочной свободой (произволом), и изучается в теорфизике (чаще упоминаемый термин - калибровочная инвариантность, это факт независимости экспериментально измеримых физических предсказаний от этого произвола).

Aldaris в сообщении #774912 писал(а):

Теперь вопрос, если я поднесу проводник, электрическое поле должно создать разность потенциалов на его концах, можно ли как нибудь измерить ее, не охватывая контуром сердечник. Или это принципиально невозможно? А может и нет тогда никакой разности потенциалов=). Может ее как-нибудь можно определить по пробному заряженному телу, или вообще никак и поле можно померить только по охватываемому контуру?

Можно измерить не разность потенциалов, а ЭДС в отрезке провода. Ну, например, напаяв на концы провода некоторые ёмкости (металлические шарики), так что переменная ЭДС в проводе будет вызывать перекачивание заряда туда-обратно. И этот заряд можно измерить (да и ток, амперметром). Но надо выдерживать условие, что все эти конструкции должны быть пробными, то есть, от их внесения в исследуемые поля, сами поля не должны изменяться сколько-нибудь существенно.

Aldaris в сообщении #774912 писал(а):

Верно ли, что если на этом проводнике появляется напряжение, то поле совершает работа по переносу электронов, вдоль незамкнутого фрагмента проводника длиной L?

Верно, только опять, не напряжение, а ЭДС.

[Aldaris]

Спасибо за ответ. Не могли бы вы тогда проверить правильность моих рассуждений.
Допустим у меня есть соленоид. Я нашел формулу для связи магнитного момента с магнитным потенциалом в точке $A=M \times R/R^3$ Где M - магнитный момент витка с током. Далее продифференцировав по времени ток и умножив на -1/с я получаю электрическое поле поле действующее на пробный заряд F=e*q. Таким образом я могу просуммировать действие от всех витков соленоида и получить результирующее поле в точке.
У меня вопрос, почему здесь не фигурирует магнитная проницаемость.? Если у меня соленоид с сердечником, я соответственно должен проинтегрировать вдоль всего сердечника выбирая элементарные контуры в виде бесконечно тонких сечений сердечника?

[Munin]

Aldaris в сообщении #775849 писал(а):

У меня вопрос, почему здесь не фигурирует магнитная проницаемость.?

Вот уравнения Максвелла с потенциалами в веществе в СГС:

$$\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}=\operatorname{rot}\mathbf{A}$$

$$\mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi$$

$$\operatorname{div}\mathbf{D}=4\pi\rho$$

$$\operatorname{rot}\mathbf{H}=\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

И в системе СИ:

$$\mathbf{B}=\mu\mu_0\mathbf{H}=\operatorname{rot}\mathbf{A}$$

$$\mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon\varepsilon_0=-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi$$

$$\operatorname{div}\mathbf{D}=\rho$$

$$\operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{j}+\dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

Соответственно, вы решаете, в квазистационарном приближении, вот такое уравнение (обратите внимание, $\mu$ не константа, и не может быть свободно перенесена через знаки производной):

$$\operatorname{rot}\left(\mu^{-1}\operatorname{rot}\mathbf{A}\right)=\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}\qquad\mathrm{(CGS)}\qquad\qquad\operatorname{rot}\left(\mu^{-1}\mu_0^{-1}\operatorname{rot}\mathbf{A}\right)=\mathbf{j}\qquad\mathrm{(SI)}$$

Поэтому и магнитная проницаемость должна войти в формулу для $\mathbf{A}.$ Та, которую вы привели, при наличии сердечника неверна. И легко модифицировать её вряд ли получится.

Во-первых, сама по себе формула $\mathbf{A}=[\mathbf{mR}]/R^3$ верна только вдали от витка с током, даже в вакууме. Вблизи, в ней должен фигурировать радиус витка, и формула получается более громоздкая.

Во-вторых, внесение магнитного материала в любую область пространства меняет распределение магнитных полей во всём окружающем пространстве, и поэтому рассчитать всё, поделив на плоскости, и считая их элементарными контурами, не получится: сердечник, не лежащий в рассматриваемой плоскости, всё равно будет менять поле даже одного витка соленоида.

Но, с другой стороны, поскольку формула $\mathbf{A}=[\mathbf{mR}]/R^3$ верна только вдали от магнитного момента, возможно другое решение проблемы: ограничимся рассмотрением поля вдали от соленоида, но вместо $\mathbf{m}=In\mathbf{S}$ подставим какое-то другое эффективное значение $\mathbf{m}',$ которое будет соответствовать полю, создаваемому соленоидом с сердечником. Здесь мы используем то, что размеры самого сердечника тоже малы, и вдали от соленоида поле всё равно будет такое же, как и в вакууме - только с источником другой мощности. Как именно рассчитать $\mathbf{m}'$ - задача сложная, возвращается к вышеназванному уравнению, но на практике её можно избежать, пользуясь либо приближёнными формулами, либо экспериментально измеренным значением.