Криволинейный интеграл

[Otta]

Limit79, Вы или не все говорите, или домысливаете лишнее, наоборот. То задание, которое Вы ранее сообщали, даже с добавлением новой линии, соответствует другой картинке.

[Limit79]

Otta
Как это другой? Контур ограничен дугой окружности $x^2+y^2=8$, и прямыми: $x=0$ и $y=-x$, все это при $x \geqslant 0$

[Otta]

Limit79 в сообщении #775692 писал(а):

Контур ограничен дугой окружности $x^2+y^2=8$, и прямыми: $x=0$ и $y=-x$, все это при $x \geqslant 0$

Ну вот и нарисуйте все это. А то на той картинке Вы кое-что упустили. Нарисуйте и озадачьтесь ориентацией.

[Limit79]

Otta
Аа... непонятно, какой кусочек -- маленький или большой...

Давайте примем за данное, что кусочек -- большой (это тот, который я нарисовал).

[Otta]

Вот я об этом Вам раньше и говорила: что ограничение другое нужно. Типа $x+y\ge 0$.

Ладно, пусть.

Limit79 в сообщении #775681 писал(а):

У меня возник вопрос: при переходе к полярным координатам (для вычисления двойного интеграла по данной части круга) можно ли задать пределы по $\varphi$ от $- \frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$,

Можно.

[Limit79]

Otta
Большое спасибо!

И еще маленький вопрос: когда проходим контур по прямой $x=0$, то пределы интегрирования по $y$ будут от $2 \sqrt{2}$ до $0$? (а не наоборот).

[Otta]

Параметризация может быть разная. Главное, знак перед интегралом правильный поставить. Если в качестве параметра $y$, то или от $2 \sqrt{2}$ до $0$, или наоборот, но интеграл, соотв., с другим знаком.

[Limit79]

Otta
Но ведь контур обходится в положительном направлении, тогда, по рисунку определяем, что идем от $2 \sqrt{2}$ до $0$. А если бы обход был в другом направлении, то пределы бы поменялись местами, и, исходя из этого, интеграл поменял бы знак?

Это я к тому, что знак выбираем не мы, а он сам получается исходя из пределов интегрирования, которые получаются исходя из направления обхода, которое задано. Или я Вас неправильно понял

[Otta]

Limit79
$\int_{2\sqrt2}^0 f(x,y)dy=-\int_0^{2\sqrt2} f(x,y)dy$, и никакой порядок обхода тут ни при чем. Ага?
Я уж молчу, что в качестве параметра необязательно выбирать $y$.

К тому же слишком явно бросается в глаза, что интеграл по этому фрагменту нулевой.

Limit79 в сообщении #775714 писал(а):

Это я к тому, что знак выбираем не мы, а он сам получается исходя из пределов интегрирования, которые получаются исходя из направления обхода, которое задано.

Вообще же знак (как и пределы интегрирования) получаются из а) заданного направления обхода, б) выбранной параметризации (согласованная-несогласованная с направлением обхода). И поскольку параметризация - это наш произвол, то и знак выбирать нам, причем правильно, в зависимости от согласованности.

[Limit79]

Otta
Я имел ввиду, что направление обхода влияет на расстановку пределов, либо от $a$ до $b$, либо наоборот, а расстановка пределов меняет знак. То есть если задано направление, то нам необходимо лишь определить пределы интегрирования, а знак сам выплывет из пределов. То есть знак ставим не мы, а он сам определяется исходя из пределов. Или нет?

-- 16.10.2013, 00:21 --

Otta в сообщении #775718 писал(а):

б) выбранной параметризации (согласованная-несогласованная с направлением обхода).

Теперь понял, спасибо!