Криволинейный интеграл

[Limit79]

Здравствуйте! Прошу помощи по такой задачке:

Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{L} 2ydx+xydy$ по замкнутому контуру $L$ в положительном направлении по формуле Грина и непосредственно.

Контур - фигура, ограниченная линиями: $y=-x$, $(x \geqslant 0)$, $x^2+y^2=8$, $(x \geqslant 0)$

А контур же незамкнутый получается? - часть окружности (при $(x \geqslant 0)$), и часть прямой, так же при $(x \geqslant 0)$... или из $(x \geqslant 0)$ вытекает третья граница контура - прямая $x=0$?

[provincialka]

Принято все части контура указывать явно. А сказано, что контур замкнутый?

[Limit79]

provincialka
Да, в условии сказано: «... по замкнутому контуру $L$ ...»

[provincialka]

Ну, мы можем исправить решение, но исправить условие ...

[Limit79]

provincialka
То есть с таким условием контур незамкнутый?

[Otta]

Limit79,

(Оффтоп)

где Вы взяли такую дурную методичку по матану? Ведь не первый раз опечатка.

Дело в том, что прямая и окружность в данном случае задают два замкнутых контура - половинки круга. Назначение неравенства в такой ситуации - указать, которую из них выбрать. Должно было быть $x+y\ge0$ или $x+y\le0$.

[Limit79]

Otta

(Оффтоп)

Это задание не из методички, его преподаватель дал...

А из $x \geqslant 0$ не вытекает граница $x=0$?

[provincialka]

Вообще говоря, нет. Разве что преподаватель что-то свое придумает.
а вам не странно, что условие $x\ge0$ два раза упомянуто?

[Limit79]

provincialka
Кстати да, наверное, все же опечатка.

[Otta]

Limit79 в сообщении #774795 писал(а):

А из $x \geqslant 0$ не вытекает граница $x=0$?

Нет.
Читайте внимательно:

Limit79 в сообщении #774767 писал(а):

Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{L} 2ydx+xydy$ по замкнутому контуру $L$ в положительном направлении по формуле Грина и непосредственно.

Контур - фигура, ограниченная линиями: $y=-x$, $(x \geqslant 0)$, $x^2+y^2=8$, $(x \geqslant 0)$

Как видите, линии $x=0$ среди линий контура нет.

(Оффтоп)

Да я понимаю, что не сами придумали, я досадую на количество явных опечаток. Подойдите к преподавателю и предложите другой контур, свой, разумный. Он не будет возражать.

[provincialka]

Кроме того, добавление $x=0$ не сделает контур замкнутым, вернее, придется выбирать, какой именно контур рассматривать.

[Limit79]

provincialka
Otta
Большое спасибо за помощь!

Otta

(Оффтоп)

Попробую...

-- 13.10.2013, 23:38 --

provincialka
Разве? $x \geqslant 0$ же.

[Limit79]

Добавили в условие прямую $x=0$

У меня возник вопрос: при переходе к полярным координатам (для вычисления двойного интеграла по данной части круга) можно ли задать пределы по $\varphi$ от $- \frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$, или же фи должна быть положительной, то есть делить область на две: у первой будет $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$, а у второй $\frac{7\pi}{4} \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$?

[Otta]

Limit79 в сообщении #775681 писал(а):

Добавили в условие прямую $x=0$

И как, интересно, задана ориентация на том, что получилось?

[Limit79]

Otta
Вот так:

(Оффтоп)